Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

где

E0

и

B0

– постоянные векторы, не зависящие от времени, но компоненты

которых могут быть комплексными. Подставляя выражения (1.23) и (1.24) в уравнение (1.19) – (1.22) и учитывая, что

	e	i k r	ike	i k r	,		e	i t	i e	i t	,
						t

получаем следующие соотношения:

k B 0 0E,

k E B , k B 0 , k E 0 .

Из соотношений (1.27) и (1.28) следует, что векторы

E

		(1.25)
		(1.26)
		(1.27)
		(1.28)
и	B	плоской волны

перпендикулярны вектору	k	, т.е. направлению распространения. Это означает, что
электромагнитная волна		является	поперечной. Соотношения	(1.25) – (1.26)
показывают, что векторы	E	и B взаимно перпендикулярны. Таким образом, для
плоской гармонической	световой		волны, распространяющейся	в вакууме в

произвольном направлении k , векторы	k ,	E	и	B	образуют правую тройку взаимно
перпендикулярных векторов (рис. 1.2).
E					Ðèñ.2
E
kk
					z
					z
B

Р и с. 1.2

Взяв от обеих частей (1.25) – (1.26) модули и учитывая взаимную ориентацию

всех векторов, а также, что

k

k

/ c

,

c 1/
	0	0

,

B

0H

, находим

следующие соотношения между значениями напряженности электрического и магнитного полей, а также между напряженностью электрического поля и магнитной индукцией плоской волны в вакууме:

H

c	E
0

,

E

cB

.

(1.29)

На рис. 1.2 видно также, что в бегущей плоской волне E и B изменяются в одинаковой фазе, т.е. одновременно достигают максимальных и нулевых значений.

Плотность потока энергии

Плотность потока энергии электромагнитного поля определяется вектором Умова - Пойнтинга

S E H ,

13

который указывает направление и количество энергии, переносимой световой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно

направлению распространения волны. Модуль вектора S в случае плоской волны может быть представлен в виде:

S

S

E H

E H

c	E	2
0

,

где учтено одно	из соотношений (1.29).
Учитывая,	что значение вектора	E	электромагнитной волны оптического

диапазона изменяется с частотами порядка 1015 Гц, то следить за изменением этой величины во времени невозможно. Можно наблюдать и измерять лишь средние значения, как величины Е2, так и величины S, по очень большому числу периодов колебаний. Поэтому от мгновенных величин необходимо перейти к средним.

Учитывая, что для гармонических волн E = Е0 cost, где Е0 – амплитуда напряженности электрического поля волны, находим среднюю по времени плотность потока энергии, которую называют обычно интенсивностью света:

S		c		E	2	cos	2	t	1	c		E	2	J .
	t		0								0
				0					2			0

(1.30)

Обычно в эксперименте используют пучки света конечного сечения, по которому плотность потока распределена неравномерно. Чаще всего пучок имеет круговое сечение, распределение плотности энергии по которому аксиально симметричное и гауссово. Такой пучок называется гауссовым, и распределение средней плотности потока энергии имеет вид

S S e	r2	/ r2	,
		0
0

где S0 – средняя плотность потока энергии в центре пучка (r = 0); r – расстояние от центра. На расстоянии r0 плотность потока энергии убывает в е = 2,72 раза. По обычной договоренности об обращении с экспоненциально убывающими величинами можно сказать, что радиус пучка равен r0.

Гауссовы волны могут служить математической моделью излучения оптических квантовых генераторов (лазеров).

1.2Принцип суперпозиции

Согласно этому принципу световые волны разных частот и разных направлений распространяются в вакууме независимо друг от друга. Можно указать простые эксперименты, наглядно иллюстрирующие принцип суперпозиции. Так, через одно и то же отверстие в экране два наблюдателя могут видеть разные объекты.

Математически принцип суперпозиции является следствием линейности волнового уравнения, описывающего распространение световых волн в вакууме. В

самом деле, если поля E1 , E2 , … являются решениями волнового уравнения, то его

	решением оказывается и сумма полей	i
	E
		E .
		i

В этом можно убедиться, подставляя, например, в волновое уравнение плоские волны вида

14

E A cos( t k z),
i	i	i	i

ki

i c

.

При этом волновое уравнение распадается на независимые уравнения для отдельных волн.

Почти тривиальный в электромагнитной теории, принцип суперпозиции для сторонников корпускулярной теории света был непонятен, так как корпускулы, принадлежащие разным световым пучкам, должны как-то взаимодействовать, рассеиваться друг на друге.

Для световых волн, распространяющихся в материальной среде, современная лазерная оптика дает много примеров сильных нарушений принципа суперпозиции.

С помощью	лазеров	получены громадные		плотности	потока	энергии, порядка
S ~ 1020 Вт/м2,	что дает		значение напряженности электрического поля				световой
волны, сравнимого		с	внутриатомными	полями	(E~109	В/м).	Квантовая

электродинамика предсказывает нарушение принципа суперпозиции для световых волн и в вакууме, но интенсивность которых очень большая даже по современным меркам. В очень мощных световых полях должно наблюдаться рассеяние света на свете и в вакууме.

Применяя принцип суперпозиции, можно показать, что две плоские монохроматические бегущие волны с одинаковой частотой, распространяющиеся в одном и том же направлении, в результате сложения дают также плоскую монохроматическую волну той же частоты, распространяющуюся в том же направлении. Если волны имеют разные частоты или различные направления распространения, то в результате их сложения не будет получена монохроматическая бегущая волна. Рассмотрим два примера.

Биения

Биения – периодические во времени изменения амплитуды колебания, возникающего при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами. Биения появляются вследствие того, что величина разности фаз между двумя колебаниями с различными частотами все время меняется так, что оба колебания оказываются в какой-либо момент времени в фазе, через некоторое время в противофазе и т.д. Соответственно амплитуда результирующего колебания периодически достигает то максимума, равного сумме амплитуд складываемых колебаний, то минимума, равного разности этих амплитуд (рис. 1.3).

E

Ðèñ. 1

t

Р и с. 1.3

15

При сложении двух бегущих в одном направлении волн с близкими частотами и волновыми числами биения возникают не только во времени, но и в пространстве.

Рассмотрим случай сложения двух монохроматических волн, имеющих частоты

1 и 2 и распространяющихся в одном направлении. Предположим, что векторы E в этих волнах коллинеарны. Для определенности ось Oz совместим с направлением

распространения волн, а ось Ox совместим с направлением вектора E волны, т.е.

предположим, что будем следить за

E (Еx, 0,	0),	а B (0, Вy, 0). Чтобы не загромождать изложения,
вектором	E ,	поскольку поведение вектора B определяется по

вектору

E

с помощью соотношений

тройка). Кроме того, предположим, что поля слагаемых волн одинаковы:

между векторами плоской волны (правая амплитуды напряженностей электрического

E1 E2



E0 E0

cos( t k z),
1	1
cos(	t k	2	z).
2

(1.31)

В соответствии с принципом суперпозиции имеем:

EE1 E2 2E0 cos 1 2 t

2

где использована формула сложения представим (1.32) в виде:

E 2E cos
		1
0		2

k k	2				2		k k	2
1		z	cos	1		t	1		z	, (1.32)
2				2			2

косинусов. Учитывая, что k1 = 1/c, k2 = 2/c,

	2		z				2		z
		(t		)	cos	1		(t		)	,	(1.33)
			c			2			c

который показывает, что результирующее электромагнитное поле распространяется без затухания в направлении положительных значений оси Oz со скоростью c (об этом свидетельствует наличие комбинации (t - z/c) в аргументе функции). В этом смысле речь идет о бегущей волне, однако не монохроматической. Учитывая, что в пределах оптического диапазона всегда соблюдается соотношение | 1 –2| < < (1 + 2) можно дать следующую наглядную интерпретацию такой волны: результирующая волна с частотой ( 1 + 2)/2 и волновым числом (k1 + k2)/2, которые близки к частоте и волновому числу любой из компонент, имеют амплитуду, которая модулирована в пространстве и времени меняющейся огибающей с частотой ( 1 -2)/2 и волновым числом (k1 - k2)/2. На рис. 1.3 сплошной линией показаны колебания частоты ( 1 + 2)/2, а пунктирной – огибающая амплитуды колебаний, изменяющейся от максимального значения 2Е0 до нуля. Если амплитуды Е10 и Е20 полей слагаемых волн не равны друг другу, то амплитуда суммарной волны

изменяется от (Е10 + Е20) до (Е10 – Е20).

Частота биений равна разности частот складываемых компонент

1 2 .

Врезультате интерференции при сложении двух волн с равными частотами и разными, но близкими по направлению волновыми векторами, биения возникают только в пространстве (так называемый муар). Именно такую структуру имеют волны во френелевской зоне излучателей, а также волны в различных волноводных системах.

16

Суперпозиция колебаний (или волн) с близкими частотами может возникнуть в нелинейных системах. Так, если на нелинейное устройство, например, квадратичный детектор, подать сумму двух колебаний, получим:

(E10 cos 1t E20 cos 2t)2

E102 cos2 1t E202 cos2 2t E10E20 cos( 1 2 )t E10E20 cos( 1 2 )t

Последнее слагаемое – колебание с разностной частотой

.

		2
1

–

называется разностным тоном или тоном биений. Измерение тона биений лежит в основе точных измерений малых разностей двух близких частот, в частности сравнения некоторой измеряемой частоты с эталонной.

Стоячие волны

В изученных выше бегущих электромагнитных волнах электрическое и магнитное поля направлены перпендикулярно друг другу и в каждой пространственной точке изменяются с течением времени совершенно одинаково. Однако это свойство электромагнитных волн не универсально. Иными свойствами обладают стоячие волны. Например, они образуются в резонаторах оптических квантовых генераторов (лазеров). Для таких волн характерны пространственное разнесение и сдвиг во времени колебаний электрического и магнитного полей.

Стоячие волны, как частный случай интерференции, возникают при наложении двух распространяющихся навстречу бегущих монохроматических волн одинаковой частоты, амплитуды и поляризации. Такая картина получается, например, при полном отражении волны от границы.

Рассмотрим структуру электромагнитного поля стоячей волны, создаваемой наложением встречных линейно поляризованных плоских волн. Ось Oz располагаем по направлению распространения волны, а ось Ox пусть будет коллинеарна

направлению вектора

E

. Так как волны распространяются навстречу друг другу, но

для каждой из них векторы

E

,

B

и

k

образуют правую тройку, то один из векторов

E или B второй волны должны иметь направление обратное тому, что было у первой волны. Будем считать, например, что векторы напряженности электрического

поля в обеих волнах коллинеарны, а вектора другу (рис. 1.4).

B

направлены противоположно друг

x					Рис. 2
E	1			E	2
					B
					2
	k	1	k	2
B
1
			z

y

Р и с. 1.4

Тогда нетрудно записать, что

17

	E			E		(z, t) E		cos(t kz)
		1		1x			0
		E		E			(z, t) E	cos(t kz)
			2		2 x
							0
		B		B		(z, t) B		cos(t kz)
		1		1y			0
	B			B			(z, t) B cos(t kz)
		2		2 y				0

(1.34)

В результате суперпозиции этих двух бегущих волн образуется волна,

напряженность электрического поля которой равна
E E1 E2 2E0 cos(kz)cos( t) .	(1.35)

Видно, что эта волна не является бегущей, поскольку отсутствует характерный для нее множитель (t ± z/c). Сомножитель cos(t) показывает, что напряженность во всех точках изменяется с одинаковой частотой в одной и той же фазе. Такая волна называется стоячей. Сомножитель 2Е0соs(kz) с точностью до знака можно рассматривать как амплитуду колебаний напряженности поля в точке z. Она изменяется от точки к точке по гармоническому закону. В точках оси z, удовлетворяющих условию соs(kz) = 0, напряженность E тождественно равна нулю. Эти точки называются узлами. Точки, для которых соs(kz) = ±1, имеют максимальную амплитуду колебаний. Они называются пучностями. Расстояние z между соседними узлами (или между пучностями) находится из условия k z = и равно z = /2, т.е. половине длины бегущей волны.

Магнитная индукция В полей волн также складывается в соответствии с принципом суперпозиции полей. Магнитная индукция поля результирующей волны, согласно формулам (1.34) и рис. 1.4, равна

B B	B
1	2

2B0

sin(kz)sin(t)

,

(1.36)

т.е. выражается формулой, аналогичной (1.35), но с заменой косинуса на синус.

a)	x	t = 0			â)	x		T	Ðèñ. 3
							t
		B = 0						4
						E = 0
	2E0
						Ó		Ï Ó	Ï Ó z
				z	2B0
y					y
á)	x		T
		t
			8

2E0

z

2B0

y

Р и с. 1.5

18

Это означает, что колебания магнитного поля также представляет собой стоячую волну, узлы которой совпадают с пучностями стоячей волны электрического поля. Следовательно, пучности и узлы магнитного поля сдвинуты вдоль оси z на четверть длины волны по отношению к пучностям и узлам электрического поля. Из сравнения (1.35) и (1.36) также видно, что по времени колебания магнитного поля отличаются на четверть периода от колебаний электрического поля. Это означает, что если, например, в момент времени t = 0 напряженность электрического поля максимальна и распределена в пространстве по закону 2Е0соs(kz) (рис. 1.5, а), то индукция магнитного поля всюду равна нулю.

Спустя промежуток времени Т/8 (Т = 2 / – период колебаний) напряженность

электрического поля уменьшится до значения		2E0 cos kz , а индукция магнитного
поля, возрастая, достигает значения	2B0 sin kz (рис. 1.5, б). К моменту времени

Т/4 напряженность электрического поля всюду обращается в нуль, а индукция магнитного поля достигает максимального значения 2В0sin(kz) (рис. 1.5, в).

Плотность потока энергии волн описывается вектором Умова-Пойнтинга

S E H . Следовательно, поток энергии отсутствует в точках, где либо

E

, либо

B равны нулю. Значит, поток энергии в стоячей электромагнитной волне отсутствует через узлы и пучности в волне, поскольку пучность напряженности электрического поля совпадает с узлом индукции магнитного поля и наоборот. Поэтому между соседними узлами и пучностями энергия движется с течением времени, превращаясь из энергии магнитного поля в энергию электрического поля и наоборот.

Опыты Винера

Первые опыты по наблюдению стоячих волн были выполнены Винером в 1890 г. В этих опытах стоячая волна возникала при отражении монохроматического света от плоского металлического зеркала. Условия отражения от идеального проводника таковы, что первый узел электрического поля стоячей волны должен располагаться на поверхности зеркала. Для регистрации положения пучностей стоячей волны использовалось действие света на фотографическую эмульсию, содержащую светочувствительные кристаллические зерна бромистого серебра. Под действием света начинается разложение бромистого серебра, что приводит к почернению (после процесса химического проявления) тех участков фотоэмульсии, которые были освещены. В соответствии со слоистым распределением амплитуд колебаний электрического и магнитного полей в стоячей световой волне почернение фотоэмульсии должно тоже происходить слоями, расстояние между которыми /2, т.е. слои очень близки друг к другу.

Трудность наблюдения столь близких слоев Винер преодолел, расположив очень тонкий светочувствительный слой (~ /20) на поверхности стеклянной пластинки под очень малым углом (около 1΄) к поверхности зеркала (рис. 1.6). Этот

19

слой пересекается с плоскостями пучностей по параллельным прямым, расстояние между которыми АВ равно /(2sin). При = 0,5 мкм и = 1΄ расстояние между полосами почернения на пластинке составляет около 1 мм. Опыт показал, что первая полоса почернения фотоэмульсии не совпадает с зеркалом, а отстоит от него на расстояние /4 (по нормали).

4	4	2	2	2	2

B

φ A

E	Ðèñ. 4

2	2

B

Р и с. 1.6 Как раз здесь располагается пучность электрического поля стоячей волны и

узел магнитного поля. Этот результат однозначно показывает, что фотохимическое действие света обусловлено электрическим полем световой волны. Для наглядности на рис. 1.6 изменения электрической и магнитной составляющих стоячей волны пространственно разнесены.

1.3Поляризация электромагнитных волн

Выше на основе уравнений Максвелла было показано, что в бегущей плоской электромагнитной волне векторы E и B в каждой точке и в каждый момент времени

образуют с волновым вектором k правую тройку векторов. В этом заключается свойство поперечности электромагнитных волн.

Выберем ось Oz системы координат вдоль волнового вектора

k

. Тогда у

векторов E и B могут быть отличны от нуля только проекции на оси Ox и Oy .

Уравнения Максвелла допускают, в частности, такое решение, когда у вектора E во всех точках и во все моменты времени отлична от нуля только одна проекция,

например Ex(z,t). Вследствие упомянутого выше свойства поперечности, у вектора B будет отлична от нуля только проекция на ось y, т. е. By(z,t). Мгновенный «снимок»

такой волны, показывающий векторы E и B в разных точках оси z в один момент времени приведен на рис. 1.7.

20

x		k	Ðèñ. 1
	E
y			z
	B

Ри с. 1.7

Втаком случае говорят, что волна имеет линейную, или плоскую, поляризацию.

В плоскости, перпендикулярной направлению распространения, концы векторов

E

и

B за период описывают две взаимно перпендикулярные линии, длина которых определяется удвоенной амплитудой соответственно электрической и магнитной составляющих поля. Плоскость, в которой лежит вектор напряженности

электрического поля волны и волновой вектор k , называют плоскостью поляризации или плоскостью колебаний. Чтобы представить себе изменения электрического и магнитного полей с течением времени, можно считать, что вся система векторов на рис. 1.7 движется как целое вдоль оси z со скоростью c.

Эллиптическая поляризация

В рассмотренном примере линейно поляризованной волны предполагалось, что

вектор E во всех точках направлен параллельно или антипараллельно оси x (см. рис. 1.7). В общем случае у плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси z, отличны от нуля обе компоненты Ex и Ey, а вектор электрического поля имеет вид

E(z,t) x0Ex (z,t) y0Ey (z,t) ,

где x0 , y0 – единичные векторы, направленные вдоль осей Оx, Oy декартовой систе-

мы координат.

Рассмотрим волну, компоненты электрического поля которой изменяются по гармоническому закону

E	(z,t)
x

E	cos(t
10

kz)

,

(1.37)

E	(z,t)
y

E	cos(t
20

kz

)

,

(1.38)

где сдвиг фаз между колебаниями.

	Найдем уравнение траектории, по которой					движется конец				вектора	E
	плоскости z = const. Перепишем (1.38) в виде
	Ey E20 cos(t kz) cos E20 sin(t kz) sin
	и с помощью (1.37) исключим из этого равенства cos (t – kz) и sin (t – kz):
		E					E	2
	Ey E20		x	cos E20		1		x	sin	(1.39)
		E					E2
		10					10

в

21

Напомним, что амплитуды E10 и E20 предполагаются положительными числами. Перенесем первое слагаемое правой части (1.39) на левую сторону, делим обе части на E20 и возводим их в квадрат.

E

E

2

E

2

y

2

x

cos

1

x

sin

E

E

E2

20

10

10

Раскрываем скобки и приводим уравнение к виду

.

E	2		E	E			E	2
	x				y			y		2
		2	x			cos			sin
E2			E	E			E2
10			10	20			20

.

(1.40)

Соотношение(1.40) является уравнением конического сечения. Сечение имеет форму эллипса, так как соответствующий детерминант неотрицателен, т. е.

	1			cos
	E2			E	E												2
							1								sin
	10			10	20						2
										1 cos
	cos			1			2	E	2						E	2	E		2
						E
	E	E		E2		10			20						10				20
	10	20		20

y	Ðèñ. 2
	B

0

.

b	a		A
2E20
A'			x
			x
B'			y
					z
2E10
			Р и с. 1.8
Эллипс вписан в прямоугольник, стороны которого имеют длины 2E10					и 2E10
(рис. 1.8). Он касается сторон прямоугольника в точках AA				(E10, E20cos)	и BB

(E10cos , E20).

Итак, в общем случае при распространении плоской монохроматической

световой волны конец вектора

E

в плоскости z = const описывает эллипс.

Аналогично ведет себя и вектор напряженности магнитного поля. Такая волна называется эллиптически поляризованной.

Представить себе электрическое поле такой волны при фиксированном t можно так: на поверхности прямого эллиптического цилиндра проведена винтовая линия,

начала всех векторов E находятся в точках оси цилиндра, концы на винтовой линии, причем сам вектор везде перпендикулярен оси.

22