33. Понятие числового ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Признаки сходимости положительных рядов. (Коши с корнем, Даламбера, Гаусса).

Опр. -нек. посл. точек из . -частичные суммы. Пара наз. Числовым рядом в .

Опр. сходится в , если , .

Утв. сходится .

Утв. (критерий Коши) .

Признаки сходимости положительных рядов.

Утв. (признак Даламбера) такие что и тогда сходится.

Утв. (признак Коши) , -сходится.

Утв. (признак Гаусса) ,

, где . Тогда

1. , то расходится;

2. , то сходится;

3. , то сходится

, то расходится.

34. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Признаки Дирихле и Абеля.

-числовой ряд.

Опр. наз. абсолютно сходящимся, если - сходится.

Утв. Абсолютно сходящийся ряд явл. сходящимся.

Опр. наз. неабсолютно сх. (условно сх.) если ряд сходится, но не сходится абсолютно.

Утв. (признак Дирихле)

1. монотонна;

2. ;

3. .

сходится.

Док-во: По критерию Коши рассмотрим ,

(т. к. мон., пусть ) т.к. для док-во.

Утв. (признак Абеля)

1. монотонна;

2. ограничена;

3. сх.

-сх.

Док-во: 1), 2) . По критерию Коши .

(-сходится по признаку Дирихле, -сходится по усл. 3)).

35. Функциональные ряды и последовательности. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Абеля, и Дирихле для равномерной сходимости.

-функциональная последовательность на X. -функц.ряд.

Опр. - сходится к поточечно, если .

Опр. Функциональный ряд сходится поточечно к , если .

Опр. сходится к равномерно, если : и .

Опр. сходится равномерно, если : и .

Утв. (критерий Коши) сходится равномерно : и .

Утв. (признак Вейерштрасса) и сходится, то функ. ряд сходится равномерно и абсолютно.

Утв. (признак Дирихле) , ,

1. монотонна;

2. сходится к равномерно;

3. .

равномерно сходится.

Утв. (признак Абеля) , ,

1. монотонна, ;

2. - -равномерно огран.;

3. равномерно сходится.

равномерно сходится.

36.Интегральные последовательности частичных сумм тригонометрического ряда Фурье. Лемма Римана-Лебега. Принцип локализации. Классы поточечной сходимости рядов Фурье.

Пусть f - 2-период. интегрируемая на любом отрезке ф-я. Рядом Фурье для ф-ии f по тригонометрической с-ме наз. , комплексная форма:

( ; ; ), где ;

;

Частичной суммой триг.ряда Фурье называется

Тогда

Таким образом - интегр. Предст. Частных сумм Фурье. - ядро Дирихле – чётная 2-период.

Лемма(Римана-Лебега)

f-локальноинтегрированно в смысле Римана

f имеет не более чем конечное чисто особых точек

f абс. интегр на (хотя бы в несобств. смысле)

=>

Теорема(Принцип локализации)

. f удовлетв. усл. Леммы Римана –Лебега, . Тогда ряды Фурье ф-ий f и g сходятся или расходятся в т. одновременно. Если сходятся, то их суммы в т. равны.

Опр. удовл. усл. Дини в т. , если и

Утверждение: f удовл. усл. Дини в т. , тогда ряд Фурье в сходится к значению .

Опр. удовл.условию Гёльдера в т. , если существует М>0,(0,1]:

Говорят, что f удовл. обобщённому условию Гёльдера,если существует М>0,(0,1]:

Утверждение: f удовл. условию Гёльдера в т., тогда её ряд Фурье в т. сходится к значению . Обобщённое усл. Гёльдера => сходится к значению .

Утверждение: f - кусочно непр. дифференцируемая на [-,]

=>