20.Кривизна и кручение кривой, их геометрический смысл. Формулы Френе.

Пусть – линия, – произвольная точка, - локальная натуральная параметризация окрестностей точки , .

Вектором кривизны линии в точке называется вектор , а кривизной линии в точке – .

Геометрический смысл – скорость поворота по касательной при движении по кривой.

Если - локальный параметр в , то .

Определение. , – натуральные параметры в окрестности . и одинаково ориентированы, если .

Определение. Ориентацией линии называется набор одинаково ориентированных локальных параметризаций, покрывающих линию. Линия с ориентацией – ориентированная линия.

Пусть - ориентированная линия, - локальный натуральный параметр, , , . Введем векторы:

- правый ортонормированный базис – базис Френе. А набор называется репером Френе.

– касательная прямая, - главная нормаль, – бинормаль, - соприкасающаяся плоскость, - нормальная плоскость, - спрямляющая плоскость.

Вычислим производные - это и есть формулы Френе.

Определение. Кручением линии называется число из формулы .

Геометрический смысл – модуль кручения характеризует скорость изменения соприкосновения плоскости.

в натуральных параметрах

По заданным кривизне и линия восстанавливается однозначно с точностью до движения.

, называются натуральными уравнениями простой линии.

21. Поверхность в е3 и способы их задания. Первая фундаментальная форма поверхности и задачи, решаемые с ее помощью.

Определение. Параметризованной поверхностью в называется пара , где - открытое, - гладкое отображение.

Параметризованная поверхность называется регулярной, если .

Определение. называется поверхностью, если для открытая окрестность , - гомоморфизм. - локальные параметры.

Способы задания:

1) При помощи параметризации

Например , , .

2) Явное задание поверхности

- гладкая функция двух переменных

, - простая поверхность.

3) Неявное задание

, – открытое, , - гладкая функция.

Если , то - поверхность в .

Определение. Касательной плоскостью к в точке называется плоскость, проходящая через точку с направленным подпространством .

Определение. Первой фундаментальной формой поверхности называется ограничение скалярного произведения векторов в на касательной пространства к поверхности .

Т.е. , где .

,

– симметричная, положительно определенная.

, т.к. - положительно определенная.

, , т.е.

, .

Задачи.

1) Длина отрезка кривой на поверхности.

.

2) Угол между кривыми

3) Площадь области на поверхности

22. Нормальная кривизна поверхности. Вторая фундаментальная форма поверхности. Полная (гауссова) кривизна.

- ориетированная поверхность, – линия, - локальные натуральные параметры .

Определение. Нормальной кривизной линии на поверхности в точке называется величина проекции вектора кривизны на нормаль к поверхности.

.

где , , .

Определение. - ориетированная поверхность, , . Нормальной кривизной поверхности в точке в направлении вектора называется нормальная кривизна любой линии, лежащей на поверхности и проходящей в направлении .

Определение. 2-й фундаментальной формой поверхности в точке называется БЛФ на , которая в базисе имеет матрицу . Т.е. для

;

.

Введем основной оператор.

, - сферическое отображение.

Определение. Основным оператором в точке называется диф-я сф. Отобр.

(

– самосопряженный оператор. Тогда - собственные значения , a - собственные векторы.

.

Определение. , . Полной (Гауссовской) кривизной поверхности в точке называется . .