7. Билинейные, полуторалинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Канонический вид над r и c. Знакоопределенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.

V – векторное пространство над P.

Определение. Φ : V x V → P называется билинейной формой, если

1. Φ(x,y) линейна по x.

2. Φ(x,y) линейна по y.

Определение. Если Φ(x,y)= Φ(y,x), то билинейная форма называется симметричной.

Если Φ(x,y)=(- Φ(y,x)), то билинейная форма называется

кососимметрической.

Билинейная форма представима в следующем виде Φ(x,y)=∑ⁿ_i,j=1 λ_ijx_iy_j, где λ_ij= Φ(e_i,e_j)

Φ(e₁,e₁) … Φ(e₁,e_n)

… … … - матрица билинейной формы в базисе [е]

Φ(e_n,e₁) … Φ(e_n,e_n)

Определение. φ: V → P называется квадратичной формой, если φ(x)= Φ(x,x).

Каноническим видом билинейной формы называется следующий: Φ(x,y)=∑ⁿ_{i =1}x_iy_i Φ(e_i,e_i),

т.е. если матрица билинейной формы диагональна.

Канонический вид квадратичной формы: φ(x)= Φ(x,x) =∑ⁿ_{i =1} Φ(e_i,e_i) x_i²

Теорема. Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду

при помощи невырожденного линейного преобразования.

Алгоритм Лагранжа.

φ – квадратичная форма; Φ – соответствующая ей билинейная форма, [e] базис V, φ≠0

φ(x)= ∑ⁿ_i,j=1 λ_ijx_iy_j, где x= x₁e₁+…+x_ne_n.

1. Покажем, что существует Φ(e_i,e_i)=α_ii≠0.

Пусть это не так, т.е. α_ii=0. Но φ≠0 => существует α_kj≠0. Тогда рассмотрим базис

(e₁,…,e_k-e_j,…,e_k+e_j,…e_n) – линейно независимы.

↑k место ↑j место

Φ(e_k-e_j;e_k+e_j)= Φ(e_k;e_k)+ Φ(e_j;e_j)+2 Φ(e_k;e_j)= α_kk+ α_jj+2 α_kj≠0 (α_kk=0;α_jj=0) =>

в V всегда существует базис, содержащий вектор e₁ : Φ(e₁,e₁)≠0 т.е. анизатропный.

2. Пусть e₁ – анизатропный.

φ(x)= α₁₁x₁² +2 α₁₂x₁x₂+…+2 α_1nx₁x_n+∑ⁿ_i,j=2 α_ijx_ix_j= α₁₁^-1 (α₁₁x₁ +α₁₂x₂+ α_1nx_n)² +∑ⁿ_i,j=2β_ijx_ix_j

y₁= α₁₁x₁ +α₁₂x₂+ α_1nx_n

y₂=x₂

. => φ(y)= α₁₁^-1 y₁² +∑ⁿ_i,j=2β_ijy_iy_j

. ↑(n-1) штук

y_n=x_n

И так далее по индукции получаем φ(z)= α₁₁z₁² +…+ α_nnz_n².

Канонический вид квадратичной формы в R: φ(x₁,…,x_n)=ε₁x₁² +…+ ε_nx_n², где ε_i€{0,1,-1}.

Число ненулевых коэффициентов = rank φ.

Числа -1 и 1 – инвариант в R квадратичной формы.

Сигнатура φ: sign(φ)=d₊(φ)-d_-(φ) – разность индексов инерц.

↑ ↑

кол-во кол-во

+1 -1

Для квадратичной формы на C канонический (нормальный ) вид содержит ε_i€{0,1}.

Определение. φ: V → R –квадратичная форма, φ называется положительно / отрицательно

определенной, если для любого x≠0: φ(x)>0 / φ(x)<0.

Теорема. Квадратичная форма положительно определена  d₊(φ)=dimV.

Критерий Сильвестра.

Квадратичная форма положительно определена  все ее угловые миноры строго положительны.

Квадратичная форма положительно определена  все ее 2k+1 миноры отрицательны, а 2k миноры положительны.

Определение. Φ : V x V→ C называется полуторалинейной, если

Φ(x+y,z)= Φ(x,z)+ Φ(y,z)

Φ(x,y+z)= Φ(x,y)+ Φ(x,z)

Φ(αx,y)= άΦ(x,y)

Φ(x,y)= αΦ(x,y)

Определение. Φ – полуторалинейная, если Φ(x,y)= Φ(y,x), то Φ называется эрмитовой.

это черта сверху!!!