68.Метод Фурье для уравнения колебания струны.

Рассмотрим уравнение колебания струны:

(1)

(2) , - начальные условия

(3) , - граничные условия

(3’) , - граничные условия

1. Будем искать решение уравнения (1) в виде , удовлетворяющие условиям (3).

(1),(3) (4) (1),(3) (5)

Получим задачу Штурма-Лиувиля нахождения собственных значений.

(4) – задача Дирихле

, k=1,2…

(5) – задача Неймана

Причём и .

Теперь рассмотрим уравнения для с найденными

Общий вид : , ,

Таким образом, получим счётное множество функций

2. Рассмотрим ряд

Предполагаем, что ряд допускает почленное дифференцирование и ряд сходится, тогда

- решение (1).

Нужно, чтобы выполнялось условие (2). Разложим и в ряд Фурье по

,

Т.е.

(4) (задача Дирихле)

, =

(5) (задача Неймана)

, =, =,

69. Принцип максимума для уравнений теплопроводности.

Рассмотрим уравнение теплопроводности

на области

Теорема (принцип максимума):

Если (т.е. непрерывна) и в G удовлетворяет уравнению теплопроводности, то она достигает своего min и max значения на множестве (основание и бок. поверхность)

Доказательство: min сводится к max заменой u на –u.

Обозначим

Очевидно, что , если , то теорема доказана.

Пусть . Рассмотрим , где T – высота цилиндра,

: , т.к. .

Рассмотрим . По построению

- точка max . Тогда и второе произведение отрицательны.

(*)

Но по построению :

(**)

Из (*) и (**) следует противоречие. Теорема доказана.

Следствие. Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности единственно.

,

70.Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

1. , на

2. 

3. 

Пусть =, которое удовлетворяет условию (3). Получаем

или

Получим задачу Штурма-Лиувиля на собственные значения

Тогда и - собственные значения и собственная функция

Чтобы выполнялось условие (2) – ряд Фурье,

Если , то рассмотрим две задачи

(*) (**)

Для решения (*) используем метод Фурье.

Для решения (**) рассматриваем вспомогательную задачу :

тогда

71. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны

72. Формула Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебания струны.

(1), задача коши для уравнения колебания струны

Характеристическое уравнение (

(1) т.о. или

Используя начальные условия

- формула Даламбера.

Формула Даламбера доказывает существование и единственность решения. Рассмотрим эту же задачу, если на струну действует внешняя сила:

В этом случае задача разбивается на две: однородная с ненулевым начальным условием и неоднородная с нулевым начальным условием.

В итоге получаем формулу Даламбера для неоднородного случая:

73. Основные вычислительные схемы метода Гаусса решения систем

линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим систему ЛАУ ,

A= ; f= - заданы - неизвестные

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных

1)Прямой ход метода Гаусса – приведение матрицы Ā к верхнему треугольному виду.

Берем ведущий элемент k-й строки, домножаем строку на и обнуляем , k>i при помощи элементарных преобразований.

2) Обратный ход метода Гаусса – вычисление начиная с последнего

Выбор ведущего элемента. Если или , то выбираем другой элемент.

1. По столбцу - меняем местами k-ю и m-ю строку

2. По строке меняем местами k-й и m-й столбец, учитываем порядок переменных.

3. По всей матрице меняем k-ю и p-ю строку; k-й и s-й столбец;