23. Вещественные числа и их основные св-ва. Поле вещественных чисел. Важнейшие подмн-ва в r и их мощность. Теорема Кантора о несчётности мн-ва вещественных чисел.
Опр: Множеством действительных чисел будем называть множество R, подчиняющееся следующей системе условий (аксиоматика R).
+ : R x R -> R
x: R x R -> R
+, x :
:
R x R -> {0,1}
:
:
Полнота:
,
таких что
.
Подмножества:
Опр: Подмн-во
наз.
индуктивным, если
1) N – min индуктивное мн-во, содержащее 1.
2)
3)
Опр: Отношение ~ наз. отношением эквивалентности, если:
1)
2)
3)
Опр: X и Y
равномощны, если существует взаимооднозначные
отображения
.
Св-ва множеств быть равномощными
есть отношение эквивалентности. Это
отношение разбивает мн-во на классы
экв-ти. Эти классы – мощность или
кардинальные числа. Класс, содержащий
N – счётность. Z&Q
– счётные мн-ва. Класс, содержащий R
– мощность континуума.
Теорема:(Кантора) CardN<CardR.
24. Числовые мн-ва и их границы. Теорема о существовании точных границ.
Опр: Число
наз.
верхней гранью мн-ва
,
если
.
Мн-во
наз.
ограниченным сверху, если оно имеет
верхнюю грань.
Опр:
наз. точной верхней гранью
,
если:
1)
2)
Аналогичным образом определяется нижняя и точная нижняя грань. supX –точная верхняя грань X, infX – точная нижняя грань X.
Теорема (Дедекинда):
,
.
X ограничено сверху/снизу,
тогда оно имеет точную верхнюю/нижнюю
грань.
25. Предел послед-ти и его св-ва (единственность, операции над послед-ми, предельный переход в нер-вах). Теорема о пределе монотонной послед-ти. Число е.
Опр: Любое упорядоченное счётное подмн-во необязательно различных между собой вещественных чисел наз. последовательностью вещ. чисел.
Опр: Последовательность
наз.
сходящейся, если
,
а – предел
(
).
Утв: а) Последовательность может иметь только один предел. б) Сходящаяся посл. ограничена.
Пусть
и
-сход.посл.
и
,
,
тогда:
1)
2)
3) если
и
,
то
4) если a < b,
то
N
5) если
N
,
то
Опр:
наз.
возрастающей/убывающей, если для
.
Теорема: Убывающая/возрастающая посл. сходится она ограничена снизу/сверху.
-
Пусть
-
убывающая.
сх.
=>
,
т.е.
для n > N.
-
огр. снизу. -
-
огр. =>
.
,
т.к.
убывает, то для
.
Ч.т.д.
Лемма (о двух милиционерах):
и
.
Нер-во Бернулли:
.
Число е.
Пусть
,
а
.
Докажем, что
возрастающ.
Докажем,
что
убывающ.
.
Т.о.
,
а
.
Т.е.
.
26. Критерий Коши сходимости послед-ти. Предельная точка мн-ва r, лемма Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
Опр:
наз.
фундаментальной (посл.Коши), если
.
Или
.
Теорема: (критерий Коши)
сходится
она фундаментальная.
Опр:
наз. предельной точкой мн-ва
,
если
.
Лемма: (Больцано-Вейерштрасса)
Бесконечное огр. мн-во
имеет по крайней мере одну предельную
точку.
Вопрос 27. Лемма Бореля-Лебега о покрытиях отрезка интервалами. Теорема о стягивающейся последовательности отрезков.
Опр.
называется
системой вложенных отрезков, если
1)
2)
Т. (Коши о вложенных отрезках)
система
вложенных отрезков имеет единственную
общую точку.
Опр.
называется открытым покрытием X
если
:
,
т.е.
Л. (Бореля-Лебега о покрытиях)
Из любого открытого покрытия отрезка [a,b] можно выделить конечное подпокрытие
Док-во.
От противного. Пусть
J:
[a,b]
покрывается лишь бесконечным числом
интервалов из J.
Рассмотрим
Хотя бы одна из половин
покр. лишь бесконечным числом интервалов
из J.
Обозначим ее
.
Продолжая процесс получим
1)
2)
3) Любой из
покрывается
лишь бесконечным числом интервалов из
J
Но
-
система вложенных отрезков и по теореме
Кантора
J-покрытие
покрывается
ровно одним интервалом
противоречие.
Ч. и т. д.