Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоры_2009.doc
Скачиваний:
82
Добавлен:
04.11.2018
Размер:
13.55 Mб
Скачать

Вопрос 28. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа (о конечных приращениях), Коши (об отношении приращений), правило Лопиталя о пределе отношения.

Опр. , -предельная точка

f называется дифференцируемой в , если A-линейная функция из Х в R :

Опр. , называется точкой

(строгого) локального max, если

(строгого) локального min, если

Т. (Ферма)

, является точкой внутр. экстремума f. Если f дифференцируема в точке , то

Т. (Ролля)

-дифференцируема на (a,b) и непрерывна на [a,b] f(a)=f(b)

Т.(Лагранжа)

-дифференцируема на (a,b) и непрерывна на [a,b], тогда

Док-во.

a) f(b)=f(a)

b) введем

F-дифференцируема на (a,b) и непрерывна на [a,b]

F(b)=f(a) & F(a)=f(a) [ T. Роля]

Ч. и т.д.

Т. (Коши об отн. приращении)

дифференцируема на (a,b) и непрерывна на [a,b]

на (a,b) тогда

29.Правила Лопиталя раскрытия неопределённостей.

Т. (Правило Лопиталя)

дифференцируема на (a,b),

1)

2)

Если , то

Док-во.

  1. Доопределим f и g в точке a , f(a)=g(a)=0

По теореме Коши

Т.о. по определению предела

Ч. и т.д.

2)

(*)

Рассмотрим интервал

По условию |g(x)|>0 в

(*) домножим на получаем:

(**)

(**)+ получаем:

Т.к. y fix а при получаем:

Ч. и т. д.

Вопрос 30. Формула Тейлора, остаточные члены в формах Пеано, Лагранжа, Коши.

называется многочленом Тейлора n-го порядка для f в точке а.

Для его существования необходимо существование .

Разность называется n-м остаточным членом для f в точке а.

Если f n-раз дифференцируема в точке a, то

Т. Пусть имеет (n+1)-ю производную на (a,x).

Пусть задана диф-ма на (a,x), причем .

Тогда

Пусть , тогда

- форма Коши

Пусть , тогда

- форма Лагранжа

Вопрос 31. Определение интеграла Римана для функций одной переменной. Необходимое условие интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости в терминах сумм Дарбу, критерий Лебега интегрируемости. Классы интегрируемых функций.

Опр. . Разбиением Т отрезка [a,b] назовем набор точек

называется разбиением с отсеченными точками, если Т-разбиение [a,b] и .

- диаметр разбиения.

Опр. , -некоторое разбиение [a,b] , тогда называется интегральной суммой Римана ф-ии f на отрезке [a,b] соотв.

Опр. называется интегрируемой в смысле Римана на [a,b] если не зависящий от .

-определенный интеграл Римана ф-ии f на [a,b].

R[a, b]-класс всех интегрируемых функций.

Утв., f-интегрируема f-ограничена.

Пусть ; T-разбиение [a, b]

Опр. Нижней (верхней) суммой Дарбу f для T называется

Св-ва.

1) причем

2)

3)

Опр. -нижний интеграл Дарбу

-верхний интеграл Дарбу

Утв.

Утв. (Критерий Дарбу)

Утв. (Критерий Лебега)

множество ее точек разрыва имеет меру нуль.

Классы функций:

1)

2)

3) , а монотоннана [a,b]

32. Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции, формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменных в определенном интеграле.

Lm т. интеграл с переменным верхним пределом диффер-м в т. и .

Опр. . -наз. первообразной на , если .

Th. первообразная на равная . (Док-во по Lm).

Th. -первообр. на - формула Ньютона-Лейбница.

Док-во: - диф-ма

( где )= [Th Лагранжа]= .

Th. (интегрирование по частям)

Th. (ф-ла замены переменной) , , .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]