5. Системы линейных алгебраических уравнений. Критерий совместимости. Методы Гаусса и Крамера. Размерность и базис пространства всех решений однородной системы линейных уравнений.

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если В=0.

Лемма. Однородная система имеет ненулевые решение тогда и только тогда, когда

rankA<n

Теорема. Совокупность решений однородной системы линейных уравнений(ОСЛУ)

является векторным пространством. (Обозначим U). Причем dimU=n-r, где n -

кол-во неизвестных r =rankA

Определение. Любой базис пространства решений ОСЛУ называется фундаментальной

системой решений(ФСР)

Система линейных алгебраических уравнений имеет следующий вид

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2nx_n = b₂

……………………………..

a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nnx_n = b_n

Коэффициенты при неизвестных (матрица коэффициентов)

a₁₁ a₂₁ … a_n1

A = a₁₂ a₂₂ … a_n2

… … … …

a_1n a_2n … a_nn

Расширенная матрица системы

a₁₁ a₂₁ … a_n1 b₁

Ā = a₁₂ a₂₂ … a_n2 b_­2

… … … … …

a_1n a_2n … a_nn b_n

X = (x)^T

B =( b_i )^T столбцы неизвестных и свободных членов

AX = B матричная запись

Определение. Решением системы линейных уравнений называется такой упорядоченный

набор (λ₁ … λ_n), что после замены неизвестных ( x_i ) на ( λ_i ) каждое

уравнение системы обращается в равенство.

Система называется несовместной, если множество решений – пустое множество. Если система имеет решения, то она совместна. Если система имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решение не единственное - неопределенной.

Системы называются эквивалентными, если они обладают одними и теми же решениями.

Определение. Рангом системы векторов называется число векторов в любой ее max

линейно независимой подсистеме. Ранг матрицы - ранг ее системы строк.

Теорема. (Критерий Кронекера-Капелли)

AX = B совместна тогда и только тогда, когда rankA=rankĀ

Метод Гаусса

1. Составляем расширенную матрицу.

2. Элементарными преобразованиями приводим ее к стандартному виду.

3. Записываем систему эквивалентную 1-ой.

4. Определяем совместна ли система. Находим главные и свободные неизвестные.

5. Выражаем главные неизвестные через свободные двигаясь снизу вверх.

Правило Крамера

d = detA

a₁₁ a₂₁ … b₁ … a_n1

d_i = det a₁₂ a₂₂ … b_­2 … a_n2

… … … … … …

a_1n a_2n … b_n … a_nn

↑i-ый столбец

Для ( x_i ) – решений AX=B имеют место следующие равенства: d * x_i= d_i , i=1,n

6. Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, размерность. Координаты вектора, их изменение при изменении базиса. Ранг матрицы и его основные свойства. Подпространства и операции над ними: пересечение, сумма, прямая сумма.

Определение. V-векторное пространство над полем P, если P: 1≠-1 и

1. (V, +) – абелева группа

2.Для любых α € P и a € V : (α,a) → α∙a € V

3. Для любых α,β€P и для любого a € V : (α∙β)a=α∙(βa)-свойство дистрибутивности

4. 1€P, для любого a € V : 1∙а=а

5. Для любых α,β€P и для любых a,b € V α(a+b)=αa+αb и (α+β)а= αa+βа

a € V: а – называется вектором, α € P: α – называется скаляром

Определение. L – подпространство V, где V-векторное пространство, если

1. L - подгруппа в (V, +).

2. Для любого α € P и для любого a € L: α∙a € L.

Пусть V-векторное пространство {L_i}_i€I- подпространства

L = ∩ _i€I L_i – векторное подпространство в V

L₁U L₂ – векторное подпространство в V,  L₁≤ L₂ либо L₂≤ L_1.

­Определение. L = L₁+ L₂ +…+ L_n ={ x₁+ x₂ +…+ x_n; x_i € L_i }- сумма подпространств.

Сумма L_i - min векторное подпространство, содержащее каждое L_i .

Определение. L = L₁+ L₂ +…+ L_n называется прямой суммой и обозначается

L = L₁L₂ … L_n если любое x € L представляется в виде x= x₁+ x₂ +…+ x_n

однозначно.

Теорема. L₁+ L₂ +…+ L_n прямая  L_i ∩ (∑_j≠i L_j )={0}, для любого i=1,n

Определение. Сумма векторов - набор а₁, …,а_k , а_i­ € V, V-векторное пространство.

Определение. Последовательность а₁, …,а_n € V называется линейно зависимой, если

существуют (α₁, …, α_n)≠0 α_i€ P: α₁а₁ +…+ α_nа_n=0. В противном случае она

называется линейно независимой.

Определение. Система векторов U € V называется системой образующих для V, если

для любого a € V существует конечная линейная комбинация векторов € U.

Определение. U € V называется базисом V, если

1. U – линейна независима

2. U – система образующих для V

Теорема. Любых два базиса векторного пространства содержат одинаковое количество

векторов и называются размерностью пространства: dimV

Определение. U – базис V, w € V, w=x₁u₁+…+x_nu_n, x_i€ P , u_i€U

тогда (x₁,…, x_n) называются координатами w по базису U.

[U]= (u₁,…, u_n) – базис V

x₁

(X)= … - координаты w по [U], т.е. w=[U](X)

x_n

[v] – новый базис, А – матрица перехода от [U] к [v], т.е. [v]= [U]А, тогда (y₁,…, y_i) – координаты w по [v] находятся из следующего соотношения А(y)=(x).

Определение. Любая max линейно независимая подсистема системы векторов содержит

одинаковое количество векторов – это число называется рангом системы

векторов rankA=rank(a₁, …, a_n), a_i – строки.

Теорема. Ранг матрицы равен max порядку ее ненулевых миноров.

Лемма. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Теорема. А≠0, rankA=r =>

r – штук единиц

1						0
	1
		…
0			1
				0
					…
						0

A~

Свойства 1. rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}

2. A_nxm ; C_mxm и B_nxn – невырожденные => rank(A∙C)=rank(B∙A)=rank(A)

7. Линейное отображение векторных пространств, его ядро и образ. Матрица линейного оператора. Матрица суммы и композиции линейных операторов. Теорема о сумме ранга и дефекта линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы.

Определение. V,V' – векторные пространства над P.

φ: V → V' называется линейным оператором, если

1. φ(a+b)= φ(a)+ φ(b) для любых a,b€V.

2. φ(λa)= λφ(a) для любых λ€ P, a€V.

Определение. φ€L(V;V'). Ядром φ (Ker φ) называется прообраз O_V’

Ker φ:= φ^-1 (O_V’)={ a€V : φ(a)= O_V’}.

Определение. φ€L(V;V'). Образом φ называется совокупность всех векторов из V',

Которые являются образами пространства V при отображении φ.

Imφ= φ(V).

Теорема. φ€L(V;V'), def φ=dim Kerφ, rank φ=dim Imφ

def φ+ rank φ=dimV.

Определение. φ – линейный оператор, если φ€L(V;V)=: L(V)

L(V) – алгебра над P (векторное подпространство над P и ассоциативное

кольцо с 1).

Матрица φ:

[U] базис V

φ(U_i)= α_1iu₁+…+α_niu_n , где α_ji€P

α₁₁ … α_1n

M(φ)= α₂₁ … α_2n

… … …

α_n1 … α_nn

Теорема. f,j€L(V); M(f), M(g) – их матрицы в [v]-базисе =>

M(f)M(g) – матрица gf

M(f)+M(g) – матрица f+g

αM(f) – матрица αf

Определение. φ€L(V). Если существует u€V\{0}: φ(u)=λu для некоторого λ € P, то

Будем говорить, что u – собственный вектор собственного значения λ.

Теорема. Собственные векторы оператора, отвечающие попарно различным собственным

значениям, линейно независимы.