60.Критерии независимости случайных величин (дискретный, абсолютный непрерывный)

Пусть вероятностное пространство, называется случайной величиной если она измерима

Опр. называется дискретной сл. величиной, если она принимает не более чем счетное число значений, т.е.

Опр. называется абсолютно непрерывной сл. величиной, если функция распределения абсолютно непрерывна, т.е.

Пусть сл. величины

алгебра, порожденная

Опр. Сл. величины называются независимыми, если независимые алгебры, т.е.

Теорема. Критерий независимости (общий случай)

независимые сл. величины

Теорема. Критерий независимости (дискретный случай)

Пусть сл. величины принимают значения и соответственно, тогда независимы

Доказательство:

независимы получаем требуемое равенство.

Ч.Т.Д.

Теорема. Критерий независимости абсолютно непрерывной сл. величины

сл. величины с плотностями распределения соответственно и совместная плотность распределения

называются независимыми

Доказательство.

независимы

Ч.Т.Д.

61 .Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

Пусть вероятностное пространство, сл. величина

Опр. Характеристической функцией сл. величины называется , где

Основные свойства х.ф.:

1. равномерно непрерывна на и ;

2. тогда ;

3. независимые сл. величины тогда ;

4. , тогда и , кроме того

, где

Теорема единственности.

Каждой характеристической функции соответствует единственная функция распределения.

Опр. Последовательность функций распределения { } слабо сходится к функции распределения , если

Теорема (обратная предельная теорема)

последовательность характеристических функций, поточечно, – характеристическая функция и

Пусть вероятностное пространство, сл. величины.

Опр. Говорят, что () удовлетворяет ЦПТ, если

т.е.

Теорема. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.

сл. величины, независимы, одинаково распределены, и () удовлетворяет ЦПТ, т.е.

Доказательство. (методом характеристических функций)

Рассмотрим

По свойству 4, характеристических функций

Т.о. характеристической функции по обратной предельной теореме () удовлетворяет ЦПТ.

Ч.Т.Д.

62. Законы больших чисел. Неравенство и теоремы Колмогорова.

-последовательность случ. величин

Опр.

удовлетворяет Закону больших чисел, если

Опр.

, если

Т (Хинчина)

-с.в. независимые, одинаково распределены, они удовл. ЗБЧ, т.е.

Т (Чебышева)

-с.в., независимые и удовл. ЗБЧ

Опр.

удовл. усиленному закону больших чисел, если

Т (нер-во Колмогорова)

нез. и имеют конечные м.о. и дисперсию

, тогда

Т (Колмогорова)

нез. с.в. ;

удовл. УЗБЧ.

Т

нез. с.в. и одинаково распр. Они удовл. УЗБЧ

63.Теорема Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного ду.

Опр. ОДУ 1-го порядка в нормальной форме наз-ся соотношение вида

()

где – независимая переменная(временная),

– неизвестная функция, ( т.е. , определенная на со значениями в )

– заданное отображение,

Опр. Решением ОДУ () определенном на наз-ся такое дифференцируемое отображение , для которого верно:

1. график лежит в

2. ,

Опр. Решение ДУ () имеет начальные данные , если это решение удовлетворяет условию . Это условие обычно называют начальным условием.

Опр. ДУ () удовлетворяет условию -ия решения, если для угол & , такое, что имеет начальные данные .

Опр. ДУ () удовлетворяет условию !-ти решения, если для -ых двух решений и , если из того, что & (следует) , .

Задача Коши

Заключается в построении , которая удовлетворяет условию:

– задача Коши

, , – непрерывна

Геометрически заключается в построении интегральной кривой, которая проходила бы через заданную точку .

Lm: Решение задачи Коши является решение интегрального уравнения и -ое непрерывное решение на интегрального уравнения является решением задачи Коши.

- отображение метрического пр-ва (с метрикой ) в метрич-ое пр-во (с метрикой ), - некоторая постоянная.

Опр. Отображение удовлетворяет условию Липшица с постоянной (), если оно увеличивает расстояние между не более чем в раз:

Th (Пикара-Линделёфа)

, , , – непрерывно и удовлетворяет условию Липшица(с постоянной ) по задача Коши имеет !-ое решение определенное на , , , .

Proof:

Основывается на принципе сжимающих отображений.

наз-ся сжимающим, если &

Сжатие полного метрического пр-ва в себя имеет единственную неподвижную точку , которая находится методом последовательных приближений. Точка наз-ся неподвижной для отображения , если .)

Рассмотрим пр-во , точками которого являются непрерывные на вектор-функции со значениями в , графики которых . А тогда, если между -ми двумя точками пространства ввести расстояние

То пространство – полное метрическое пр-во.

По Lm достаточно показать, что непрерывное решение интегрального уравнения на (согласно Lm решение задачи Коши эквивалентно решению интегрального ур-ия.)

Поэтому дальнейшее док-во свяжем с решением данного интегрального ур-ия. Запишем его в операторной форме: , где

Покажем, что – сжимающее отображение.

. Покажем, что (т.е. что оператор переводит точки пр-ва в точки того же пр-ва).

Пусть , тогда из определения оператора следует, что – ф-ция непрерывная, значения которой не выходят из параллелепипеда , что подтверждает следующая цепочка соотношений:

оператор переводит точки пр-ва в себя.

Покажем, что , где (Покажем, что оператор сжимающий). Пусть –произвольные точки .

по определению – сжатие.

Таким образом, по принципу сжимающих отображений ур-ие имеет !-ое решение , определенное на , а значит это решение будет единственным решением интегрального уравнения . А это в соответствии с Lm означает, что – решение начальной зачади Коши.