37. Дифференцируемые отображения из Rn в Rm. Матрица Якоби.

Опр: наз. Дифференцируемым в т. , если для него - линейный оператор:

- производная отобр. f в точке . Значение линейного оператора на векторе , т.е. наз. диф-лом отобр. f в на векторе .

- матрица лин. оператора наз.

Опр: частной производной ф-ии f:ER в точке наз. Обыкновенная производная ф-ии в точке ,

т.е. .

Опр: Матрицей Якоби отобр. в точке наз. матрица, составленная из частных производных координатных ф-ий отобр. f в точке .

Теорема: диф-мо в , тогда:

1) все частные производные в т.

2) Матрица в стандартном базисе совпадает с матрицей Якоби.

38. Локальные экстремумы функций многих переменных. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.

Опр: f:ХR,

наз. точкой строгого лок.min/ лок. max, если и Точкой нестрогого лок.min/ лок. max если

Теорема(достаточное условие экстремума): явл. точкой лок.экстремума f:ХR, то: 1) f не диф-ма в , 2) если f диф., то .

Теорема(Достаточное условие экстремума):

(i) Если

(ii) Если

(iii) Если

Теорема(Достаточное условие экстремума):

. Чтобы была т. лок. экстремума ф-ии f необходимо: k – чётное, полуопр. к Ф на единичной сфере . Достаточно: чтобы знакоопр. на S

a)

b)

39. Условный экстремум. Необходимые, достаточные условия. Метод множителей Лагранжа.

f:AR - целевая функция

Опр.

Метод функции Лагранжа

Теорема (Необх. пр. условного экстремума) Пусть верно:

a.

b.

c.

Тогда

,

Теорема(достаточные условия): Для того чтобы исследовать тип точек экстремума необходимо исследовать знак КФ при условии.

40. Теоремы о неявной и обратной функциях, условия их дифференцируемости и формулы для производных

f₁ (x₁ ,…, x_m , x_m+1 , …,x_s+m ) = 0 --неявное задание функции

………………………………..

f_s (x₁ ,…, x_m , x_m+1 , …,x_s+m )= 0

Теорема (о неявном отображении)

f: XR^S, X R^m+S,x₀int X

f- непрерывно дифференцируема по x_m+1 , …,x_s+m в точкеx₀

d f₁ /d x_m+1…..d f₁ /d x_m+s

J(x₀)= ………………………….. (x₀) det J(x₀)≠0

d f_s /d x_m+1…..d f_s /d x_m+s

f(`x₀)=0

Тогда  U(), : U() R^S—непрерывно диф-ма, f(, ())=0   U()

^{^}x=( x₁ ,…, x_m)

x_m+1⁰=₁(),… x_m+s⁰=_s().

Если fC^k, то и C^k

Теорема (об обратном отображении)

f: XR^S, XR^S,x₀int X

f-непрерывно дифференцируема в U(x₀)

Пусть det J_f(x₀)≠0 

(i)  (x₀):  обратное отображение f ^-1, т.е.  x  (x₀), f ^-1(f (`x))=f (f <sup>-1</sup>(`x))=`x

(ii) f  _(`x0)- биективно

(iii) V=f ( (`x₀))- открытое множество

(iv) f ^-1 С¹(V)

Формулы производных

F: R-непрерывно на =[a ,b][c, d] и непрерывно дифференцируема по y на [c, d] для 

fix x [a ,b]

(x₀, y₀): F(x₀, y₀)=0

F_y(x₀, y₀)0

 а)  U_(x₀) [a ,b]: x U_(x₀) ! y=y(x):F(x,y(x))=0  y(x₀)=y₀

б) Если F дифференцируема на  как функция 2-х переменных, то y(x)-решение уравнения F(x,y)=0 является дифференцируемым для x U_(x₀) и y(x)= - F_x (x,y(x))/ F_y(x,y(x))

Замечание

F(x,y)=x-f(y)

Если x₀= f(y₀), f (y₀)0, то y= f ^-1(x) дифференцируема в x₀ и (f ^-1(x₀))=1 f (y₀)

41.Мера Жордана в Rn и ее свойства: монотонность, аддитивность, субаддитивность. Интеграл Римана в Rn и его свойства. Сведение интеграла к повторному (теорема Фубини), замена переменной в n-кратном интеграле.

Определение

Брусом в Rⁿ называется I=[a₁,b₁]×…×[a₂,b₂].

Мерой бруса называется .

Пусть T(I)={I₁,…I_n}-разбиение бруса I.

- отсеченные точки.=(,…)I_k.

Определение

Называется частичной суммой Римана, если  ,то f называют интегрируемой в смысле Римана по брусу I. Обозначим :

.

Определение

ERⁿ называется множеством Жордановой меры нуль, если для  >0  конечное семейство брусов, покрывающее Е, сумма объемов < .

Определение

Ограниченное множество ERⁿ называется допустимым, если его граница имеет меру нуль.

Конечное , и  допустимых множеств—допустимое множество.

допустимых множеств—допустимое множество, если оно ограничено.

допустимых множеств—допустимое множество.

Определение

f:ЕR, ERⁿ, Е- допустимо и ограничено.

E

Определение

Ограниченное множество Е называется измеримым по Жордану, если f интегрируема по Е. Мера Жордана: .

Измеримыми по Жордану являются допустимые множества и только они.

Свойства меры Жордана:

1. Е₁, Е₂-измеримы. Е₁ Е₂ ( Е₁) (Е₂)-монотонность.

2) Е₁, …,Е_n-измеримы. Е_i  Е_j=,ij -аддитивность.

3) Е₁, …,Е_n-измеримы. Е_i  Е_j=,ij -субаддитивность.

Свойства интеграла:

1)Линейность.

Е-измеримо, f,g: ЕR-интегрируемы, ,R f+g-интегрир.,



2) Аддитивность.

Е₁, Е₂-измеримы. f:Е₁ Е₂R.

f_Е1 и f_Е2-интегрируемы f-интегр. по Е₁ Е₂ и Е₁ Е₂ и

3) Монотонность.

Е-измеримо, f,g: ЕR-интегрируемы.

.

4) Е-измеримо, f: ЕR-интегрируема.

.

Теорема (Фубини)

Е₁ Rⁿ, Е₂ R^m, fR(Е₁Е₂), тогда если g: Е₂R:g_x(y)=f(x,y) для  fix x Е₁, то g_x-интегрир. по Е₂ и

Теорема (замена переменной)

А Rⁿ-ограниченная область. g: Аg(A)-диффеоморфизм.

f: g(А)R-интегрируема.

(x₁,…x_n)=(g₁(),…g_n()).