48.Понятие конформного отображения и его связь со свойством аналитичности. Теорема Римана о понятии конформного отображения. Принцип соответствия границ.
Опр:
наз конформным в т.
,
если
1)
сохраняет
углы в этой точке
2)
обладает
постоянством растяжения в
Если
,
то
конформно
если
конформно в
наз
конформным, если
- конф в т
Утв:
-
аналит в
конформна
в
Опр:
конформна в обл.
,
если она конформна в
точке
и однолистна (
)
Св-во 1) Конф отобр явл взаимнооднозн в обл и обратное к нему тоже конформно
2) Композиция конформных отобр – конформное отобр
3)
конф
аналит
и однолистна
4)
- область
- обл
5)
- конф. Если
м.б. продолжена на
,
то
6)
- аналит и
с сохр ориентации, то
-
конформное
Т(Римана)
обл
граница котор состоит из более чем 1
точки м.б. конформна отображена на
единичный круг, причем
числом способов.
49.Продолжение меры по Лебегу. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса на r.
Опр:
наз кольцом, если
1)
2)
Если
,
то кольцо наз алгеброй
наз
-
кольцом, если
Опр:
- полукольцо, если
1)
2)
Тh
-
min кольцо порожденное
Опр: Мерой на
наз отобр
,
определенное на всем
1)
2)
Опр: Мера
наз
- аддитивной, если
Верно что
Опр: Мера наз непр, если
Тh. Мера непр
она явл
-
аддитовной
Утв: Мера монотонна
Тh.
- мера,
- кольцо
1)
2)
аддитивна
аддитивна
Тh.
-
-адд
мера
Опр:
наз мн-вом меры нуль, то
также имеет меру нуль
Продолжение меры по лебегу – нужно
продолжить меру на
-алгебру
так, чтобы она была
-адд
и полной
Опр:
алгебра,
-адд
мера
наз внешней мерой Лебега
Опр:
наз измеримым по Лебегу если
-мн-во
всех изм подмнов.
Продолжением по Лебегу
-
адд меры
,
где
- алг. наз мера
:
-алг;
-адд
мера на
полная
Тh (Критерий измеримости)
Опр.
наз непр слева в
,
если
возрастает
{Все меры на
}~{монот
неубыв
}
Т.к продолжение по Лебегу опр только
для
адд
мер, то
Тh
-
мон. неубыв, непр слева
-адд.
-мера
Лебега-Стилтьеса
Опр:
наз
абс непр в
,
если
Опр:
-
меры по
-
алг
непр
отн
,
если
Тh.
непр
отн меры Лебега
-абс
непр
Опр:
- взаимно сингулярны, если
,
а
.
50. Евклидовы и унитарные пр-ва. Нер-во Коши-Буняковского. Ортонормированные базисы и процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Сопряжённый оператор. Eнитарные и самосопряжённые операторы.
V – векторное пространство.
Опр.: VхV
R
наз. скалярным произведением, если
1) (
a
+
b) c =
(a c) +
(b c)
2) а b=b a
3)
a
а а > 0
Опр.: V хV
С
наз. скалярным произведением, если
1) (
a
+
b) c =
(a c) +
(b c)
2)
= ba
3)
a
а а > 0
Опр.: Е – евклидово пр-во, если это V(R) с заданным скалярн.пр., U – унитарное пр-во, если это V(C) с заданным скалярн.пр.
Нер-во Коши-Буняковского: |a|=
, а
E(U)
|ab|
|a||b|
Опр.:
V= Е (U) a,b
V наз.ортог.
a
b
a b = 0
Опр.: С-ма векторов наз.ортог., если она из попарноортог. векторов.
Т (процесс ортогонализации) : V=
Е (U)
V
ортогональная с-ма векторов, линейно
эквивал. (
).
Для 1 – верно. Пусть верно для к.
Для к +1: (
)
,
-
попарно орт.
.
По условию
,
,
,
Опр.:
-
n-мерное Е пр-во. f:
R
наз.ф-лом, если
-
мн-во всех лин.ф-лов на
(сопряжённое)
-
вект.пр-во над R.
T h
Th :
f –сопряжённый к f.
Св-ва: 1)
Опр.: f :
наз.самосопр,если
т.е.
f(a) b=a
f(b),
T f– самосопр.
– симметрическая
Th: f :
– невырожденный оператор.
– ортог. и g- самосопр :
f = h
g
Опр.: f:
- унитарный, если f-
лин.изоморфизм и f(a)
f (b)= ab,
Th : f :
-унитарный
