64.Линейные неоднородные ду и основные теоремы об их решениях. Метод вариации произвольных постоянных.

Опр. Векторным линейным ДУ 1-го порядка наз. ДУ вида

(1)

где , , .

и – непрерывны на нек. .

Th (Пикара-Линделёфа для линейных ДУ):

Если и непрерывна на нек. промежутке , то решение ДУ (1) определенное на всем .

Proof:

Рассмотрим пространство – непрерывное на вектор функций с метрикой .

– полное множество.

Рассмотрим последовательность приближений Пикара

, ,

непрерывна так как и ­– непрерывны .

Рассмотрим ряд Пикара:

частичная сумма ряда совпадает с приближением Пикара.

Пусть ,

Д-м по ММИ, что

Пусть верно для д-м для

[по предп. инд.]

Т.о.

по пр-пу Вейерштрасса ряд Пикара сх-ся и

– решение (1), определенное на .

Опр. Линейным ОДУ -го порядка наз-ся ДУ следующего вида:

(2)

где и – непрерывны.

Th:

Задача следующего вида имеет !-ое решение, определенное на

Proof:

При помощи замены , , …, сведем ???????????????????????(не видно пару строк, причем в конспекте не могу найти тоже такое)

Св-ва решений:

1) – решение неоднородного ДУ (2), – решение, соответствующее однородному ДУ – решение неоднородного ДУ.

2) Общее решение неоднородного ДУ (2) представляется в виде

, где – общее решение однородного ДУ, – частное решение неоднородного ДУ.

Метод вариаций произвольных постоянных.

Будем искать общее решение неоднородного уравнения (2) в следующем виде:

, где ­– базис решений однородного ДУ.

Будем подбирать ф-ции так, чтобы выполнялось

()

т.е. будем подбирать так, чтобы они вели себя как , т.е.

()

Мы ищем такие , чтобы при -кратном дифференцировании они бы вели себя как произвольные постоянные.

Продифференцировав последнее равенство, из () получаем

Подставляя значения и в исходное ДУ (2), учитывая () и () получаем, что

Таким образом, мы получили систему для нахождения

Тогда система является линейной неоднородной системой относительно произвольных, причем определитель этой системы совпадает с определителем Вронского, который отличен от нуля. Решая по формулам Крамера мы можем найти

Тогда , , .

С учетом того, что общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного ур-ия и частного решения неоднородного уравнения : , то общее решение нашего неоднородного ур-ия запишется в виде:

64.Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного ду.

Опр. наз-ся голоморфной в окрестности , , …, , где точки (Вопрос о верности определения)

Если она представима в этой окрестности в виде сходящегося степенного ряда

Опр. , наз-ся голоморфным отображением, если – голоморфные в области .

Рассмотрим задачу Коши

, , (1)

Th( Коши):

является голоморфной в некоторой окрестности , т.е. она представима в виде

, сходящуюся в области , .

Тогда задача (1) в некоторой окрестности точки имеет !-ое голоморфное решение .