- •1. Поле комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме, формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.
- •2.Кольцо многочленов от одной переменной. Корень многочлена, теорема Безу, кратность корня. Неприводимые многочлены над r и c. Теорема о разложении многочлена в произведение неприводимых многочленов.
- •3.Матрицы и алгебраические операции над ними. Обратная матрица, критерий существования и методы её вычисления. Жорданова нормальная форма матрицы.
- •5. Системы линейных алгебраических уравнений. Критерий совместимости. Методы Гаусса и Крамера. Размерность и базис пространства всех решений однородной системы линейных уравнений.
- •Билинейные, полуторалинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Канонический вид над r и c. Знакоопределенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
- •9. Понятие группы, подгруппы, примеры. Нормальная подгруппа, факторгруппа. Теорема Лагранжа. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Основная теорема о гомоморфизмах групп.
- •10. Понятие кольца, поля, подкольца, подполя, примеры. Идеал, факторкольцо. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Основная теорема о гомоморфизмах колец. Характеристика поля. Степень расширения полей.
- •11. Свободные векторы в , скалярное, векторное и смешанное произведения.
- •Вопрос 13. Эллипс, гипербола, парабола , их уравнения и св-ва. Классификация кривых второго порядка в .
- •Вопрос 14. Аффинные пространства . Плоскости в и их уравнения. Взаимное расположение двух плоскостей.
- •Вопрос 15. Евклидовы точечные пространства . Ортогональность плоскостей в Расстояние от точки до плоскости в .
- •16. Топологическое пространство. Способы задания топологий, сравнение топологий. Внутренность, замыкание, граница множества в топологическом пространстве.
- •17. Непрерывные отображения топологических пространств и их свойства. Гомеоморфизм.
- •19.Компактные и связные топологические пространства. Критерии компактности метрического пространства.
- •19.Кривые в и и способы их задания. Натуральная параметризация кривой.
- •20.Кривизна и кручение кривой, их геометрический смысл. Формулы Френе.
- •21. Поверхность в е3 и способы их задания. Первая фундаментальная форма поверхности и задачи, решаемые с ее помощью.
- •22. Нормальная кривизна поверхности. Вторая фундаментальная форма поверхности. Полная (гауссова) кривизна.
- •23. Вещественные числа и их основные св-ва. Поле вещественных чисел. Важнейшие подмн-ва в r и их мощность. Теорема Кантора о несчётности мн-ва вещественных чисел.
- •24. Числовые мн-ва и их границы. Теорема о существовании точных границ.
- •25. Предел послед-ти и его св-ва (единственность, операции над послед-ми, предельный переход в нер-вах). Теорема о пределе монотонной послед-ти. Число е.
- •26. Критерий Коши сходимости послед-ти. Предельная точка мн-ва r, лемма Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки.
- •Вопрос 27. Лемма Бореля-Лебега о покрытиях отрезка интервалами. Теорема о стягивающейся последовательности отрезков.
- •Вопрос 28. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа (о конечных приращениях), Коши (об отношении приращений), правило Лопиталя о пределе отношения.
- •29.Правила Лопиталя раскрытия неопределённостей.
- •Вопрос 30. Формула Тейлора, остаточные члены в формах Пеано, Лагранжа, Коши.
- •33. Понятие числового ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Признаки сходимости положительных рядов. (Коши с корнем, Даламбера, Гаусса).
- •34. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Признаки Дирихле и Абеля.
- •35. Функциональные ряды и последовательности. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Абеля, и Дирихле для равномерной сходимости.
- •36.Интегральные последовательности частичных сумм тригонометрического ряда Фурье. Лемма Римана-Лебега. Принцип локализации. Классы поточечной сходимости рядов Фурье.
- •37. Дифференцируемые отображения из Rn в Rm. Матрица Якоби.
- •38. Локальные экстремумы функций многих переменных. Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции.
- •39. Условный экстремум. Необходимые, достаточные условия. Метод множителей Лагранжа.
- •40. Теоремы о неявной и обратной функциях, условия их дифференцируемости и формулы для производных
- •42.Криволинейные интегралы и их основные свойства. Формула Грина
- •43.Поверхностные интегралы, формула Стокса, формула Гаусса-Остроградского.
- •44. Производная от функции комплексного переменного и её геометрический смысл. Условия Коши-Римана.
- •45. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.
- •Вопрос 46. Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Свойства аналитических функций.
- •Вопрос 47. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов.
- •48.Понятие конформного отображения и его связь со свойством аналитичности. Теорема Римана о понятии конформного отображения. Принцип соответствия границ.
- •49.Продолжение меры по Лебегу. Меры Лебега и Лебега-Стилтьеса на r.
- •50. Евклидовы и унитарные пр-ва. Нер-во Коши-Буняковского. Ортонормированные базисы и процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Сопряжённый оператор. Eнитарные и самосопряжённые операторы.
- •51.Неравенства Гельдера, Минковского. Пространства Lp(t, μ), полнота.
- •52.Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Лебега.
- •53. Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений).
- •54.Линейные непрерывные операторы. Норма оператора. Примеры.
- •55.Теорема о замыкании образа линейного непрерывного оперетора.
- •56. Теорема Хана-Банаха о продолжении функционалов.
- •57.Гильбертовы пространства. Ортонормированные системы векторов в гильбертовом пространстве.
- •58. 58.Аксиоматика Колмогорова. Условные вероятности.
- •59. Числовые характеристики случайных величин, математическое ожидание, дисперсия, коэффициент корреляции и их свойства.
- •60.Критерии независимости случайных величин (дискретный, абсолютный непрерывный)
- •61 .Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых.
- •62. Законы больших чисел. Неравенство и теоремы Колмогорова.
- •63.Теорема Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного ду.
- •64.Линейные неоднородные ду и основные теоремы об их решениях. Метод вариации произвольных постоянных.
- •64.Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного ду.
- •66 Линейные однородные ду -го порядка и основные теоремы об их решениях.
- •67. Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема Ляпунова.
- •67.Принцип максимума для гармонических функций.
- •68.Метод Фурье для уравнения колебания струны.
- •69. Принцип максимума для уравнений теплопроводности.
- •70.Метод Фурье для уравнения теплопроводности.
- •71. Метод Фурье решения смешанных задач для уравнения колебаний струны
- •72. Формула Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебания струны.
- •73. Основные вычислительные схемы метода Гаусса решения систем
- •74. Метод итераций и общий неявный метод итераций для систем
- •75. Метод итераций для систем нелинейных уравнений, теорема о
- •76. Метод Эйлера для решения задачи Коши в случае системы
- •77. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость. Теорема о связи аппроксимации и устойчивости со сходимостью.
- •78 Явная и неявная двухслойная четырехслойная разностная схема для уравнения теплопроводности. Условия устойчивости
- •79 Алгебра высказываний. Формулы. Равносильность формул. Функции алгебры высказываний. Способы заданий. Проблема минимизации.
- •80 Исчисления высказываний. Формулы, аксиомы, правила вывода. Вывод из гипотез. Теорема дедукции. Теорема о непротиворечивости исчисления высказываний. Независимость системы аксиом.
- •81. Логика предикатов. Предикаты, формулы, кванторы, отрицание кванторов. Приведенные и нормальные формулы. Проблема разрешения.
- •82. Исчисление предикатов. Формулы, аксиомы, правила вывода. Производное правило связывания квантором. Эквивалентность формул. Закон двойственности.
- •83. Основная теорема о потоке (Теорема о max и min разрезе).
- •84. Алгоритм Форда-Фалкерсона построения максимального потока.
- •85. Необходимые и достаточные условия существования эйлерова цикла в графе.
- •86. Теорема о разложении положительного потока.
- •87. Потоки мин. Стоимости. Алгоритм Басакера-Гоуэна.
- •88. Матричные игры. Цена. Седловая точка. Нахождение цены и Седловой точки.
- •90. Необходимое условие экстремума в классической вариационной задаче (уравнение Эйлера-Лагранжа)
- •91. Метод множителей Лагранжа.
- •92. Производные в векторных пространствах (вариация по Лагранжу, Гато, Фреше).
- •93. Теорема двойственности в линейных задачах.
Вопрос 13. Эллипс, гипербола, парабола , их уравнения и св-ва. Классификация кривых второго порядка в .
Фигура на наз. фигурой 2-ого порядка, если в каком-либо репере её можно задать ур-ем степени 2 и нельзя задать ур-ем меньшей степени. , - общий вид фигур 2-ого порядка.
Эллипс
- фокусы. -эксцентриситет
Св-ва эллипса:
Гипербола
-эксцентриситет
, ∀ M∈ E
Парабола
Классификация фигур 2-ого порядка на
-эллипс ,
–мнимый эллипс,
– пара мнимых ∥ прямых,
- пара пересекающихся прямых,
- гипербола,
, p - парабола,
- пара ∥ прямых,
- пара мнимых ∥ прямых
Везде a,b
Вопрос 14. Аффинные пространства . Плоскости в и их уравнения. Взаимное расположение двух плоскостей.
Опр. Аффинным пространством наз. ∅ мн-во связанное с в.п. если , (A,B)↦ и выполняется 1) ∀A∈ и ∀ 2) ∀ A, B, C ∈ , =
Опр. Репер в - набор () где 0∈, () – базис .
Опр. Подмн-во B⊂ наз. Аффинным подпр-вом (плоскостью), если - подпр-во W⊂. W- наз напр подпр-вом Bd dimB=k, если dimW=k.
Ур-я плоскостей в : , () – базис
-
Векторно-параметр.
-
Ур-е плоскости общего вида
dim
Взаимное расположение плоскостей B с напр. пр-вом W и P с U
-
B⋂P они пересекаются B⋂P – плоскость с напр пр W⋂U.
-
B⋂P=∅
-
W⊂U или U⊂W ⇒ B∥P – параллельны
-
W⋂U={} ⇒ B и P скрещиваются
-
W⋂U{} по W⋂UW и W⋂U ⇒ B и P частично параллельны
Пусть k=dimW , m=dimU, d=dim U⋂W , s=dim() (d, k, m, s) – характеристика пары плоскостей
s=k+m-d если
Вопрос 15. Евклидовы точечные пространства . Ортогональность плоскостей в Расстояние от точки до плоскости в .
Опр. Евклидовым точечным пр-вом наз аффинное пр-во связанное с евклидовым в.п. Обозначается . В.п. наз. евклидовым , если на нём задано скалярное произведение т.е. БЛФ , такая что g- симметр и полож определ.
Расстояние между точками: = Угол между векторами – число
Ортог: ⊥ ⇔=0
Опр. и - 2подпр-ва в – евкл. пр-ве ⊥ , если ∀∈ , ∈ =0 Опр. и –плоскости в .⊥ , если ⊥ ортогональные плоскости в либо не ⋂, либо ⋂ по точке.
Расстояние от точки до 2 плоскости в определяется след. образом :
=
Где - ур-е пл-ти в орт. репере
16. Топологическое пространство. Способы задания топологий, сравнение топологий. Внутренность, замыкание, граница множества в топологическом пространстве.
Определение. X- множество. - называется топологией, если
1) .
2) .
3) .
- топологическое пространство.
Способы задания
1) Пусть – метрика, т.е. , что
а) .
б) .
в) .
Назовем открытым шаром, тогда - метрическое пространство.
Множество называется открытым, если .
Утверждение. - метрическое пространство, тогда – открытое множество.
Естественной топологией на называется .
Очевидно, удовлетворяет аксиомам топологии.
Определение. - топологическое пространство называется метризуемым, если метрика , которая порождает эту топологию.
Определение. Если Метрики задают одну и ту же топологию, они называются эквивалентными.
2) Фундаментальная система окрестностей.
Определение. Пусть для задано . называется элементарной окрестностью x, а - фундаментальной системой окрестностей, если:
1) для
2) и
3)
Утверждение. Пусть на X задана фундаментальная система окрестностей V. Множество называется открытым, если . Семейство всех открытых множеств – . Тогда
1)-топология
2)
3)
Определение. и – топологии на X. Говорят что не слабее (), если ; сильнее , если и .
Утверждение. Пусть на X заданы фундаментальные системы окрестностей и . задает , а задает . Тогда
Определение. - топологическое пространство. называется базой топологии , если .
Определение. называется внутренней точкой, если . – множество внутренних точек A.
Определение. называется точкой прикосновения множества A, если - множество всех точек прикосновения.
Определение. называется граничной точкой A , Если
– множество граничных точек.