9. Понятие группы, подгруппы, примеры. Нормальная подгруппа, факторгруппа. Теорема Лагранжа. Гомоморфизм и изоморфизм групп. Основная теорема о гомоморфизмах групп.
Для
Пустому
мн-ву будем говорить, что на Х определена
бинарная алг.операция, если задано
.Алг.операция
наз ассоциативной, если
;
коммуникативной, если
.
Эти св-ва независимы.
Опр.:
пустому
мн-ву – полугруппа, если
1) На М определена алг.операция
;
2)
-
ассоциативна.
Опр.:
пустому
мн-ву – группа, если
1) М- полугруппа;
2)
-нейтр.эл-т:
3)
-
обратный m.
Опр.: Число эл-тов группы наз. порядком
группы |G|=Card
G. Группа конечная, если
|G|<
,
иначе – бесконечная.
Примеры: 1) (
);
2) (
),
р – простое;
3) (
),
где
;
4)
;
5)
Опр.: G – гр.
наз. подгруппой, если Н – группа относ.
операций, заданных в G.
Т :
-подгруппа
Т.Лагранжа: G – гр. ,
|G|<
,
-подгруппа,
|H|
делит |G|
Опр.: G – группа,
-подгруппа,
мн-во
-левый
класс смежности;
-правый
класс смежности.
Св-ва: Все классы смежности равномощны
и G разбивается на
не
пересекающихся классов смежности.
Опр.:
-подгруппа
наз.нормальной, если разложение G
в левые и правые классы смежности
совпадают.
.
Мн-во классов смежности обозначаем
.
На
введём умножение :
,
тогда
-группа
относ. такой операции умножения,
-
наз. фактор-группой.
Опр.:
- группы,
наз. гомоморфизмом, если
.
Изоморфизм = гомоморфизм + биекция.
Из
не следует
Т(1-ая основная теорема о гомоморфизмах
групп):
- группы,
- гомоморфизм,
-
подгруппа,
гомоморфизм
.
Док-во:
Корректность
- гомоморф.,
Инъективность; т.е.
Пусть
,
сюрьективно по постр.
-
изоморфизм.
Т:
10. Понятие кольца, поля, подкольца, подполя, примеры. Идеал, факторкольцо. Гомоморфизм и изоморфизм колец. Основная теорема о гомоморфизмах колец. Характеристика поля. Степень расширения полей.
Опр.: (К, +, .) наз.кольцом, если К
и
1) (К, +) – абелева группа, 2) (К, . ) –
подгруппа, 3) a(b
+ c) = ab + ac,
(a + b) c
= ac + bc –
дистрибутивность.
Если в (К, . )
нейтр. эл-т, то (К, +, .) – кольцо с 1. Если
в (К, . ) ab=ba,
то (К, +, .) – коммутативное кольцо.
Опр.: (Р, +, .) наз. полем , если (Р, +, .) – кольцо и (Р \ {0}, .) – абелева группа.
Опр.:
,
Р – поле R наз. подполем,
если К – поле относ. операций заданных
в Р. Аналогично и для кольца.
Примеры:
- поле и подполе;
- кольцо и подкольцо.
Опр.: К – кольцо,
наз. идеалом, если
1)
,
т.е. I – подгруппа в (К, +)
2)
Пример: K = Z, I = nZ
Опр.: I – произвольный
идеал,
наз. фактор-кольцом.
Опр.: Гомоморфизм колец
- отображение, сохраняющее алгебраические
операции, т.е.
.
Если
биективно, но
- изоморфизм.
Т: Если
- гомоморфизм, то
Опр.: Характеристикой поля Р char (P) наз. миним. полож. число n. Если сумма сх., то char (P) =0
Т: char (P) - или 0 или простое число.
11. Свободные векторы в , скалярное, векторное и смешанное произведения.
Рассмотрим
с
точки зрения аксиоматики Гильберта.
Опр.: Отрезок АВ наз-ся направленным,
если указаны его начало и конец. Будем
говорить, что
,
если они лежат на парал. прямых и D
и В лежат по одну сторону от прямой АС.
Будем говорить, что
,
если |AB|=|CD|
и
.
Опр.: Вектор наз. класс эквивал. Направленных отрезков. Сложение векторов и умножение векторов на число R являются первичными отношениями.
V – мн-во векторов V с заданными операциями удовлетворяет аксиомам векторного (линейного пр-ва) над R.
Скалярное произведение – 3-е первичное
отношение на V
.
Для него справедливы аксиомы ск.
произведения:
Длина вектора
Угол между векторами :
Используя понятие ск. произведения,
введём в пр-ве
ортонормированный базис
,
тогда для радиус- векторов
и
скал. произведение в координатах имеет
след. вид:
.
Опр.: Векторным произведением векторов
и
наз. вектор
,
опред. из след. соотношения
Св-ва: 1)
2)
3)
4)
Опр.: Смешанным произведением векторов
наз. число
.
В координатном виде
,
где
-
объём параллелепипеда.
Вопрос 12. Различные виды уравнений
прямой и плоскости в 
и в 
.
Уравнения
прямой в 
.
Пусть
– евклидова плоскость связанная с
евклидовым в.п. 
.
Прямая
– подмн-во 
,
связанная с 1-мерным подпр-вом в 
.
- будем называть н. точкой, 
– напр. Вектор.
Пусть на 
задан аффиный репер (
),
,
-
Векторно-параметрическое ур-е прямой (и для
)
+t
, 
-
Параметрическое ур-е прямой по нач. т. и напр. вект.
-
Кононическое ур-е прямой по нач. точке и напр. в.
-
Общее ур-е прямой Ax+By+C=0 , где
Пусть
-
, 
-
, где (0,b)
и (a,0) –
точки пересечения прямой и осей. -
- ур-е прямой по 2-м точкам . -
, 
Уравнения прямой и плоскости
в 
(
)
, 
, 
Прямая:
2)
3)
7)
=
Плоскость – подмн-во 
, связанное с 2-мерным подпр-вом 
.
- нач. точка пл.
(
).
-
Векторно-параметр
-
Параметр. ур-е
-
Общее ур-е плоскости Ax+By+Cz+D=0
-
Ур-е плоскости по 3-м точкам
*) Общее ур-е прямой в пр-ве
