45. Интегральная теорема Коши. Интегральная формула Коши.

Теорема: (Интегральная теорема Коши) - односвязная обл. (огр. без дырок). - аналит. => - замкн. Спрямляемая кривая .

Как восстановить значение аналит. ф-ии в обл. по её знач. на границе.

Интегральная ф-ла Коши.

Теорема1 :(усиленная инт. Теор. Коши) D – односвязная обл. с к-гладким краем. аналит. в D и непр. в .

Теорема2: (инт. Теор. Коши для многосвязной обл.) D – многосв. обл. с к-гладким краем . - аналит. в D и непрер. в . Тогда .

Теорема3: (инт. ф-ла Коши) D – огр. односвязная обл. с к-гладким краем. аналит. ф-я непрер. продолжима на D . в , тогда

Док-во: 1) . . -двухсвязн.

аналит. в G и аналит. в G и непрер. до . => [T2]=>

, т.к. f – непрер. => ч.т.д.

2) => - аналит. в D и непрер. до => [T1]=> ч.т.д.

Замечание: - непрер. обл. с краем, . - аналит. в D и непрер. вплоть до . Тогда .

Вопрос 46. Степенные ряды. Формула Коши-Адамара. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Свойства аналитических функций.

Опр. Ряд вида , называется степенным рядом с центром в точке a.

Т. (Коши-Адамара)

Пусть

1) степенной ряд сходится в С, причем равномерно на любом к-те.

2) степенной ряд сходится только при z=a.

3) степенной ряд сходится в круге |z-a|< и расходится в

|z-a|>

Опр. Функция f(z) аналитична в D, , тогда ряд вида называется рядом Тейлора функции f в точке a.

Т. Степенной ряд с R>0 является рядом Тейлора своей суммы

Замечание. Представление функции степенным рядом единственно.

Сл. Если f диф-ма в некоторой окрестности точки a, то она представляется рядом Тейлора с центром в той же точке и является бесконечно диф-ой в круге сходимости.

Утв. аналитична в - гладкий , где

Утв. аналитична и ограничена

Утв. (принцип максимума)

Если f аналитична, то для ее модуля не существует строгого локального максимума, лежащего внутри области аналитичности.

Вопрос 47. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов.

Опр. Рядом Лорана наз. Степенной ряд вида .

Областью сходимости ряда Лорана является либо пустое множество либо кольцо вида r< |z-a|<R. Ряд сходится абсолютно внутри области сходимости и равномерно на компaкте, лежащем внутри области сходимости.

Cxодимость понимается в следующем смысле:

Ряд сходится в z, если и

,

Т. (о разложении аналитической функции в ряд Лорана)

F аналитична в кольце , тогда f(z) представляется в этом кольце в виде суммы сходящегося ряда Лорана , где и

Док-во:

Возмем и : и z :

f аналитична в кольце (и даже в замыкании)

Обозначим:

I: т.к. ||<1

J:

Т.о. где т.к.

Единственность:

Пусть и

По формуле для :

Ч.и т.д.

Опр.

называется изолированной особой точкой f , если аналитична в

причем f не является аналитичной в a.

Опр. Изолированная особая точка z=a ф-ии f(z) наз.

1. устранимой, если конечный

2. полюсом, если

3. существенно особой точкой, если

Опр. f аналитична в . Тогда вычетом функции f в т. называется коэффициент при (-1)-ой степени разложения в ряд Лорана по (z-a)

Утв. f аналитична в

Опр. f аналитична в окрестности ,

Т. (о вычетах)

-область с гладким краем. F аналитична в D за исключением конечного числа изолированных особых точек тогда