- •Раздел первый статика твердого тела
- •1. Основные понятия статики
- •1.1. Введение
- •1.2 Аксиомы статики.
- •1.3. Несвободное твёрдое тело
- •2. Плоская система сил
- •2.1. Система сходящихся сил
- •2.2. Произвольная плоская система сил
- •3. Пространственная система сил.
- •3.1. Системы сходящихся сил.
- •3.2. Произвольная пространственная система сил.
- •Центр тяжести.
- •Раздел второй кинематика.
- •1. Введение
- •2. Движение точки.
- •2.1. Способ задания движения.
- •2.2. Скорость точки.
- •2.3. Ускорение точки.
- •3. Простейшие движения твердого тела.
- •Поступательное движение тела.
- •Вращательное движение твердого тела.
- •Уравнения равномерного вращения тела
- •Уравнения равнопеременного вращения тела
- •Сложное движение точки.
- •4.1. Основные понятия.
- •Сложение скоростей.
- •4.3. Сложение ускорений. Теорема Кориолиса.
- •Плоское движение твердого тела.
- •5.1. Введение
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении.
- •5.3. Мгновенный центр скоростей (мцс)
- •Определение скорости точки плоской фигуры с помощью мцс
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении.
- •5.5. Мгновенный центр ускорений (мцу)
- •Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении.
- •6. Сложное движение твердого тела.
- •6.1. Сложение поступательных движений.
- •6.2. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей.
- •6.3. Пара вращений.
- •6.4. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.
- •6.5. Сложение поступательного и вращательного движений.
- •1.2. Законы динамики.
- •1.3. Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки.
- •2. Дифференциальные уравнения движения точки и их интегрирование.
- •2.1. Прямолинейное движение точки.
- •2.2. Криволинейное движение точки.
- •3. Общие теоремы динамики точки.
- •3.1. Количество движения и кинетическая энергия точки.
- •3.2. Импульс силы.
- •3.3. Теорема об изменении количества движения точки.
- •3.4. Работа силы. Мощность.
- •3.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
- •3.6. Теорема об изменении момента количества движения (теорема моментов).
- •4. Прямолинейные колебания точки
- •4.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления.
- •4.2. Свободные колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости (затухающие колебания)
- •4.3. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •1.2. Масса системы. Центр масс.
- •2. Теорема о движении центра масс системы.
- •2.1. Дифференциальные уравнения движения системы.
- •2.2. Теорема о движении центра масс.
- •2.3. Закон сохранения движения центра масс.
- •3. Теорема об изменении количества движения системы.
- •3.1. Количество движения системы.
- •3.2. Теорема об изменении количества движения.
- •3.3. Закон сохранения количества движения.
- •4. Теорема об изменении момента количества движения системы.
- •4.1. Момент инерции тела относительно оси.
- •4.2. Главный момент количества движения системы.
- •4.3. Теорема об изменении главного момента количества движения системы (теорема моментов).
- •4.4. Закон сохранения главного момента количества движения.
- •5. Теорема об изменении кинетической энергии системы.
- •5.1. Кинетическая энергия системы.
- •5.2. Некоторые случаи вычисления работы.
- •5.3. Теорема об изменении кинетической энергии системы.
- •5.4.Потенциальное силовое поле и силовая функция.
- •5.5. Потенциальная энергия
- •5.6.Закон сохранения механической энергии
- •Оглавление
Уравнения равномерного вращения тела
Вращение тела с постоянной угловой скоростью называется равномерным
Проинтегрируем
– уравнение равномерного вращения тела.
Уравнения равнопеременного вращения тела
Вращение тела, при котором угловое ускорение постоянно, называется равнопеременным вращением.
Если величина увеличивается, то вращение называется равноускоренным, если уменьшается – равнозамедленным.
Разделим переменные:
Проинтегрируем:
Разделим переменные:
Проинтегрируем:
В результате получим:
В общем случае:
– уравнение равнопеременного движения.
Знак «+» – соответствует ускоренному вращению,
«–» – замедленному.
3.2.1. Скорость и ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Рассмотрим точку М, находящуюся на расстоянии h от оси вращения Аz.
При вращении точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время происходит элементарный поворот тела на угол , то точка М при этом совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда скорость точки будет равна
Рис. 2.10 или (21)
Скорость называют еще линейной или окружной скоростью точки М.
Направлена линейная скорость по касательной к описываемой точкой М окружности.
Как следует из формулы, линейные скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.
Рис. 2.11
Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами:
В нашем случае . Подставляя сюда значение , получим:
или окончательно
К асательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону движения, если тело вращается ускоренно или в обратную, если тело вращается замедленно); нормальное всегда направлено по радиусу h к оси вращения.
Рис. 2.12
Полное ускорение точки М будет равно
или
(23)
Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом , который вычисляется по формуле
Подставляя сюда значения и , получаем:
-
Сложное движение точки.
4.1. Основные понятия.
Сложное движение называется движение точки относительно двух систем отсчета, одна из которых неподвижна, другая произвольно перемещается относительно неподвижной системы координат.
Движение тоски М относительно неподвижной системы координат (О, х1, у1, z1) называется абсолютным. Скорость и ускорение в этом движении называются абсолютной скоростью и абсолютным ускорением, обозначаются .
Движение точки М относительно подвижной
Рис. 2.13 системы координат (О, х, у,
z), называется относительным. Скорость и ускорение в этом движении называются относительной скоростью и относительным ускорением, обозначаются .
Подвижная система координат и все, что с ней неразрывно связано, называется переносной средой.
Движение точки М вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной называется переносным движением. Скорость (ускорение) той точки переносной среды, с которой в данный момент времени совпадает наша точка, называются переносной скоростью (ускорением), обозначаются .
Примером может служить движение человека по эскалатору. Движение эскалатора есть переносное движение, движение человека вниз или вверх по эскалатору есть относительное, а движение по отношению к неподвижным стенам – абсолютное.
Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета, которое названо абсолютным, является сложным, состоящим из относительного и переносного движения точки. Основная задача изучения сложного движения состоит в установлении зависимостей между скоростями и ускорениями относительного, переносного и абсолютного движения точки.