4.4. Закон сохранения главного момента количества движения.

Из теоремы моментов можно получить следующие важные следствия.

1). Пусть сумма моментов относительно центра О всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Тогда из уравнения (18) следует, что при этом К₀=const. Таким образом, если сумма моментов относительно данного центра всех приложенных к системе внешних сил равна нулю, то главный момент количества движения относительно этого центра будет численно и по направлению постоянен.

2). Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их моментов относительно некоторой неподвижной оси Оz равна нулю:

Тогда из уравнений (19) следует К_z=const.

Эти результаты выражают собой закон сохранения главного момента количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить главный момент количеств движения системы не могут.

5. Теорема об изменении кинетической энергии системы.

5.1. Кинетическая энергия системы.

Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы.

(20)

Кинетическая энергия является характеристикой и поступательного и вращательного движения системы. Кинетическая энергия является скалярной величиной и при том положительной. Она зависит от направлений движений и не характеризует изменений этих направлений. На изменение кинетической энергии влияет действие внешних и внутренних сил.

Если система состоит из нескольких тел, то ее

.

Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс. Следовательно, для любой точки V_к = V_с и формула (19) дает

или

, (21)

где М – масса тела,

V_с – скорость центра масс.

Вращательное движение.

Рис. 4.8

,

где h_к – расстояние точки от оси вращения,

- угловая скорость.

Подставляя в (17), получим:

.

(22)

Плоскопараллельное движение.

При этом движении скорости всех точек в каждый момент времени распределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р. Следовательно по формуле (21)

(23)

I_Р – момент инерции относительно названной оси,

- угловая скорость тела.

Величина I_Р – будет переменной, так как положение центра Р при движении тела все время меняется. Введем вместо I_Р постоянный момент инерции I_с, относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса . Подставим I_Р в (19^/).

Рис. 4.9 Учитывая, что точка Р – мгновенный центр скоростей и следовательно , где V_с – скорость центра масс С. Окончательно:

(24)

Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

Общий случай движения.

Если за полюс взять центр масс С тела, то движение тела в общем случае будут слагаться из поступательного движения со скоростью V_с и из вращения вокруг мгновенной оси СР, проходящей через этот полюс. Тогда скорость в любой точке ,

, h_к – расстояние точки от оси СР, - абсолютная угловая скорость.

Рис. 4.10 и учитывая, что

- масса тела,

- момент инерции относительно мгновенной оси,

, так как она представляет количество движения, получаемое телом при его вращении вокруг оси ОР, проходящей через центр масс тела.

Окончательно получаем:

(25)

Кинетическая энергия равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс.