6.4. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.

Рассмотрим случай сложения вращения вокруг двух пересекающихся осей. Когда абсолютное движение тела является результатом относительного и переносного вращений с угловыми скоростями и вокруг осей О и Ов, пересекающихся в точке О, то скорость точки О, очевидно равна нулю.

Следовательно, результирующие движения тела является движением вокруг неподвижной точки О и для каждого элементарного

Рис. 2.45 промежутка времени представляет собой элементарный поворот с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О.

Чтобы определить вектор , вычислим скорость какой-нибудь точки М тела, радиус-вектор которой . В относительном движении вокруг оси Оа точка М получает скорость , в переносном же движении вокруг оси Ов точка получает скорость .

Следовательно, абсолютная скорость точки М равна

.

С другой стороны, так как результирующие движение тела является мгновенным вращением с некоторой угловой скоростью , то должно быть .

Такие результаты будут получаться для всех точек тела (т.е. при любых ).

Отсюда заключаем, что

. (36)

Следовательно, при сложном вращении вокруг двух осей, пересекающихся в точке О, результирующие движение будет мгновенным вращением вокруг оси Ос, проходящей через точку О, причем угловая скорость этого вращения равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей.

С течением времени ось Ос меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в точке О, то последняя применяя полученное равенство (), придем к выводу, что результирующие движение является мгновенным вращением вокруг оси, проходящей через точку О, а угловая скорость этого движения

. (37)

6.5. Сложение поступательного и вращательного движений.

6.5.1. Скорость поступательного движения перпендикулярно к оси вращения (┴)

Пусть сложное движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси Аа с угловой скоростью и поступательного движения со скоростью перпендикулярно к .

Можно видеть, что движение представляет собою (по отношению к плоскости, перпендикулярно к оси Аа) плоскопараллельное движение. Если считать точку А полюсом, то рассматриваемое движение, как и

Рис. 2.46 всякое плоскопараллельное, будет действительно слагаться из поступательного со скоростью , т.е со скоростью полюса и вращательного вокруг оси Аа, проходящей через полюс.

Вектор можно заменить парой угловых скоростей (пара вращений), беря , а . При этом расстояние АР найдется из равенства с учетом, что

Векторы и дают при сложении нуль, и мы получаем, что движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси Р_р с угловой скоростью . Точка Р для сечения (S) тела является МЦС ( ).

Поворот тела вокруг осей А_а и Р_р происходит с одной и той же угловой скоростью , т.е. вращательная часть движения не зависит от выбора полюса.

6.5.2. Винтовое движение ().

Сложное движение слагается из вращательного вокруг оси А_а с угловой скоростью и поступательного со скоростью , направленной параллельно оси А_а. Такое движение называется винтовым. Ось А_а называется осью винта.

Когда векторы и направлены в одну сторону, то винт будет правым; если в разные стороны – левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точки, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины и постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т, получим и , откуда .

.

Рис. 2.46

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии r, складывается из поступательной скорости и перпендикулярной к ней скорости , получаемой во вращательном движении. Следовательно

.

Направлена скорость по касательной к винтовой линии.

(38)

3. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения.

Сложное движение, совершаемое телом в этом случае, представляет

собой общий случай движения свободного твердого тела.

Рис. 2.48

Разложим вектор на составляющие:

1). , направленную вдоль .

2). , перпендикулярную к .

Скорость можно заменить парой угловых скоростей и , после чего векторы и можно отбросить. расстояние АС найдем по формуле:

.

Тогда у тела остается вращение с угловой скоростью и поступательное движение со скоростью . Следовательно, распределение скоростей точек тела в данный момент времени будет таким же, как при винтовом движении вокруг оси С_с с угловой скоростью и поступательной .

Проделанными операциями мы перешли от полюса А к полюсу С. Результат показывает, что в общем случае движения угловая скорость тела при перемене полюса не изменяется (), а меняется только поступательная скорость ().

Поскольку при движении свободного твердого тела величины

будут вообще все время меняться и положение оси С_с, которую поэтому называют мгновенной винтовой осью. Таким образом, движение свободного твердого тела можно еще рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей.

РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ

ДИНАМИКА ТОЧКИ.

1. Введение в динамику. Законы динамики.

1.1. Основные понятия и определения.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил.

Движение тел с чисто геометрической точки зрения было изучено в кинематике. В динамике, в отличие от кинематики, при изучении движения тел принимают во внимание и действующие силы, и инертность самих материальных тел. Понятие о силе, как о величине, характеризующей меру механического взаимодействия материальных тел, было введено в статике. Но при этом в статике, мы считали все силы постоянными. Между тем на движение тела действуют обычно переменные модули и направления, которые при движении тела изменяются. Переменные силы могут определенным образом зависеть от времени, от положения тела и от его скорости.

Инертность – представляет свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил. Если, например, при действии одинаковых сил изменение скорости первого тела происходит медленнее, чем второго, то говорят, что первое тело является более инертным. Степень инертности данного тела зависит от количества заключенного в нем вещества (материи).

Величина, зависящая от количества вещества данного тела и определяющая меру его инертности, называется массой тела. В механике масса «m» рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

В общем случае движение тела зависит не только от его суммарной массы и приложенных сил; характер движения может еще зависеть от геометрических размеров тела и от взаимного расположения его частиц (то есть распределение масс). Чтобы при первоначальном изучении динамики иметь возможность отвлечься от учета влияния размеров тел и распределения масс, вводят понятие о материальной точке.

Материальной точкой называется материальное тело (тело, имеющее массу), размерами которого при изучении движения можно пренебречь.

Изучение движения одной материальной точки должно предшествовать изучению движения системы точек. Поэтому курс динамики обычно разделяют на динамику точки и динамику системы материальных точек.