3. Простейшие движения твердого тела.

0. Поступательное движение тела.

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во время движения параллельной своему первоначальному направлению. Траектории точек при этом движении представляют собой одинаковые кривые, которые могут быть получены одна из другой путем параллельного смещения. При поступательном движении скорости и ускорения всех точек твердого тела в данный момент времени геометрически равны. Следовательно, при исследовании поступательного движения твердого тела достаточно определить движение одной какой-либо точки тела. Таким образом, задача о поступательном движении твердого тела сводится к задаче кинематики точки.

Возьмем две точки А и В, положение которых определяется радиусами векторами . Проведем вектор

(*)

При этом длина , так как тело абсолютно твердое, то есть траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех точек на постоянный

Рис. 2.8 вектор АВ. Таким образом, траектории

точек А и В одинаковы.

Продифференцируем по времени равенство (*)

, т.е скорости точек А и В в любой момент времени одинаковы и по модулю и по направлению.

Продифференцируем

или .

Следовательно, ускорения точек А и В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость называют скоростью поступательного движения.

Закон поступательного движения

(17)

0. Вращательное движение твердого тела.

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывает окружности, центры которых лежат на этой оси.

АВ – ось вращения,

Р – неподвижная плоскость,

Q – подвижная плоскость,

Двухгранный угол – угол поворота тела.

Угол поворота будем считать положительным, если смотреть навстречу оси вращения и видеть его направления против часовой стрелки. Численное значение угла поворота выражается в радианах: [] = рад.

Рис. 2.9

Угол поворота (в радианах) часто выражают через число оборотов N:

.

Угол , определяя положение подвижной полуплоскости, определяют также положение всего вращающегося тела. Поэтому его можно рассматривать как угловую координату тела.

= (18)

Выражение (18) является уравнением вращательного движения твердого тела.

Главными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела в целом является угловая скорость – и угловое ускорение – .

Пусть в момент времени движение подвижной полуоси определяется углом , а в момент – углом .

Предел отношения приращения угла к приращению времени при стремлении последнего к нулю, называется угловой скоростью тела в данный момент времени:

₍₁₉₎

Размерность [] – .

В технике часто при равномерном вращении используется числом оборотов в минуту – .

Зависимость между и имеет вид:

.

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением

. (20)

Весьма полезным является введение в рассмотрении вектора угловой скорости и вектора углового ускорения.

Вектором угловой скорости будем называть вектор, модуль которого равен абсолютному значению производной угла поворота тела по времени, направленной вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходит против часовой стрелки.

,

– единичный орт оси z.

Вектором углового ускорения будем называть вектор, равной производной по времени от вектора угловой скорости.

.

Вектор как и вектор – направлен вдоль оси вращения твердого тела.