5.3. Мгновенный центр скоростей (мцс)

МЦС называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Теорема. Если угловая скорость плоской фигуры не равна нулю, то МЦС существует.

Доказательство:

Пусть скорость точки А не равна нулю, > 0.

Вычислим скорость точки Р, отстоящей от точки А на расстоянии

АР =, причем .

Согласно 1 способу .

Так как , то , причем .

Вектор направлен противоположно , то есть можно записать , .

Рис. 2.24

Определение скорости точки плоской фигуры с помощью мцс

Выберем за полюс точку Р. Тогда скорость произвольной точки А

, т.к.

Таким образом, скорости точек тела при его плоском движении распределяются так же, как при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси. Роль неподвижной оси играет мгновенная ось, проходящая через МЦС перпендикулярно плоской фигуре. Следовательно, скорости всех точек плоской фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с МЦС, а модули скоростей пропорциональны расстояниям от точек до МЦС

(28)

Рис. 2.25

Определение угловой скорости плоской фигуры.

Угловая скорость плоской фигуры определяется одним единственным способом: она равна скорости любой точки плоской фигуры, деленной на расстояние от этой точки до МЦС:

(29)

Частные случаи определения положения МЦС.

1. МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров с векторами скоростей двух точек плоской фигуры.

Рис. 2.26

2. Соединяем концы векторов. МЦС находится на пересечении линии, соединяющих концы векторов с линией АВ.

Рис. 2.27

3. (, так как точки касания обоих тел при отсутствие скольжения должны иметь одинаковую скорость, а второе тело неподвижно)

Рис. 2.28

4. , но не перпендикулярно АВ.

Согласно 2 способу определения скорости

В данный момент времени скорости всех точек плоской фигуры геометрически равны. Имеем мгновенно поступательное

Рис. 2.29 распределение скорости. Угловая скорость равна нулю. МЦС находится в бесконечности.

5.4. Ускорения точек при плоском движении.

Покажем, что ускорение любой точки М тела при плоском или параллельном движении (так же как и скорость) складывается из ускорений, которые она получает в поступательном и во вращательном движении.

Рис. 2.30

Положение точки М по отношению с осями 0ху определяется радиусом–вектором , где . Тогда

.

В полученном равенстве – равна ускорению полюса А, а величина – определяет ускорение, полученное точкой М при ее вращении вместе с телом вокруг полюса А.

Следовательно .

При этом для ускорения во вращательном движении вокруг полюса по

формулам будет

- угловая скорость и угловое ускорение,

- угол между направляющей и отрезком МА.

Таким образом ускорение любой точки М тела геометрически складывается из ускорения какой-

Рис. 2.31 нибудь другой точки, принятой за полюс, и ускорения точки М в ее вращении вместе с телом вокруг этого полюса.

Модуль и направляющая ускорения находится построением соответствующего параллелограмма. Однако вычисление величины с помощью параллелограмм несколько усложняет расчет, так как предварительно надо вычислить угол , а затем угол между векторами и . Поэтому при решении задач удобнее вектор заменить его касательной и нормальной соответствующими, где

.

Вектор направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против, если оно замедленное. Вектор всегда направлен от точки М к полюсу А.

Рис. 2.32

Тогда

(31)

Если точка А движется не прямолинейно, то его ускорение будет слагаться:

. (32)