- •Раздел первый статика твердого тела
- •1. Основные понятия статики
- •1.1. Введение
- •1.2 Аксиомы статики.
- •1.3. Несвободное твёрдое тело
- •2. Плоская система сил
- •2.1. Система сходящихся сил
- •2.2. Произвольная плоская система сил
- •3. Пространственная система сил.
- •3.1. Системы сходящихся сил.
- •3.2. Произвольная пространственная система сил.
- •Центр тяжести.
- •Раздел второй кинематика.
- •1. Введение
- •2. Движение точки.
- •2.1. Способ задания движения.
- •2.2. Скорость точки.
- •2.3. Ускорение точки.
- •3. Простейшие движения твердого тела.
- •Поступательное движение тела.
- •Вращательное движение твердого тела.
- •Уравнения равномерного вращения тела
- •Уравнения равнопеременного вращения тела
- •Сложное движение точки.
- •4.1. Основные понятия.
- •Сложение скоростей.
- •4.3. Сложение ускорений. Теорема Кориолиса.
- •Плоское движение твердого тела.
- •5.1. Введение
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении.
- •5.3. Мгновенный центр скоростей (мцс)
- •Определение скорости точки плоской фигуры с помощью мцс
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении.
- •5.5. Мгновенный центр ускорений (мцу)
- •Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении.
- •6. Сложное движение твердого тела.
- •6.1. Сложение поступательных движений.
- •6.2. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей.
- •6.3. Пара вращений.
- •6.4. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.
- •6.5. Сложение поступательного и вращательного движений.
- •1.2. Законы динамики.
- •1.3. Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки.
- •2. Дифференциальные уравнения движения точки и их интегрирование.
- •2.1. Прямолинейное движение точки.
- •2.2. Криволинейное движение точки.
- •3. Общие теоремы динамики точки.
- •3.1. Количество движения и кинетическая энергия точки.
- •3.2. Импульс силы.
- •3.3. Теорема об изменении количества движения точки.
- •3.4. Работа силы. Мощность.
- •3.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
- •3.6. Теорема об изменении момента количества движения (теорема моментов).
- •4. Прямолинейные колебания точки
- •4.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления.
- •4.2. Свободные колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости (затухающие колебания)
- •4.3. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •1.2. Масса системы. Центр масс.
- •2. Теорема о движении центра масс системы.
- •2.1. Дифференциальные уравнения движения системы.
- •2.2. Теорема о движении центра масс.
- •2.3. Закон сохранения движения центра масс.
- •3. Теорема об изменении количества движения системы.
- •3.1. Количество движения системы.
- •3.2. Теорема об изменении количества движения.
- •3.3. Закон сохранения количества движения.
- •4. Теорема об изменении момента количества движения системы.
- •4.1. Момент инерции тела относительно оси.
- •4.2. Главный момент количества движения системы.
- •4.3. Теорема об изменении главного момента количества движения системы (теорема моментов).
- •4.4. Закон сохранения главного момента количества движения.
- •5. Теорема об изменении кинетической энергии системы.
- •5.1. Кинетическая энергия системы.
- •5.2. Некоторые случаи вычисления работы.
- •5.3. Теорема об изменении кинетической энергии системы.
- •5.4.Потенциальное силовое поле и силовая функция.
- •5.5. Потенциальная энергия
- •5.6.Закон сохранения механической энергии
- •Оглавление
-
Сложение скоростей.
Рассмотрим точку М, совершающую сложное движение. Пусть эта точка, двигаясь вдоль своей относительной траектории АВ, совершает за промежуток времени относительное перемещение, определяемое вектором .
Рис. 2.14
Сама кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями (О, х, y, z) (на рисунке не показаны), перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение А1, В1.
Одновременно та же точка кривой АВ, с которой в момент времени совпадает точка М, совершит переносное перемещение, . В результате этих движений точка М придет в положение М1 и совершит за время абсолютное перемещение .
Из векторного треугольника ММ//М1
Деля обе части на и переходя к пределу получим:
По определению:
Что касается последнего соотношения, то так как при кривая А1В1 стремится к совпадению с кривой АВ, то в пределе будем иметь
В результате находим, что
(24)
То мы доказали следующую теорему о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.
Направлены векторы по касательным к соответствующим траекториям (рис.2.15).
Рис. 2.15
Модуль абсолютной скорости:
С помощью параллелограмма скоростей решается ряд задач кинематики точки:
– зная и можно найти абсолютную скорость,
– зная и направления скоростей и , можно найти модули этих скоростей,
– зная скорость и можно найти скорость
.
4.3. Сложение ускорений. Теорема Кориолиса.
Найдем зависимость между абсолютным , относительным и переносным ускорениями. Эти величины отличаются не только тем, что при их вычислении рассматриваются приращения разных векторов скоростей, но и тем, что эти приращения вычисляются на разных перемещениях.
Рис. 2.16
При определении рассматривается приращение вектора на абсолютном элементарном перемещении , при вычислении – приращении вектора на относительном элементарном перемещении и при вычислении – приращение вектора на переносном элементарном перемещении .
Условимся обозначать элементарное перемещение, получаемое вектором при абсолютном перемещении, символом d, при относительном – d1 и при переносном – d2. Тогда
(*)
где – элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении , – элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении и – элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении .
Поскольку при сложном движении , то
Однако в этом равенстве, , как и , представляют собой элементарные приращения соответственно векторов на абсолютном перемещении , поэтому стоящие справа величины не будут равны
Для получения искомых зависимостей учтем, что абсолютное перемещение слагается геометрически из относительного и переносного элементарных перемещений и . Следовательно, (элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении ) можно представить в виде
, (**)
где – элементарное приращение, получаемое вектором на относительном перемещении , а – элементарное приращение, получаемое тем же вектором на переносном перемещении . Отношение к и дает согласно (*) величину . Для вычисления учтем, что переносное движение (движение осей О, х, у, z) слагается в общем случае из поступательного перемещения вместе с полюсом О и повороте вокруг мгновенной оси ОР, проходящей через этот полюс, угловую скорость этого поворота .
При поступательном перемещении вектор остается параллельным самому себе и никакого приращения не получает. При повороте нее вместе с осями О, х, у, z вокруг мгновенной оси ОР вектор оставаясь постоянным по модулю, изменяет свое направление. Поворот вектора при непоступательном переносном движении и является причиной того, что этот вектор получает приращение на перемещении (рис. б, где и А// В// изображают вектор и кривую АВ в момент , а пунктиром показан вектор в момент ). Приращение, получаемое вектором при таком повороте, определяется формулой
.
Следовательно, и ,
где – угловая скорость переносного движения.
В результате из равенства (**) находим
(А)
По аналогии с (**) величину (элементарное приращение вектора на абсолютном перемещении ) можно также представить в виде
, (***)
где – элементарное приращение, получаемое вектором на относитель-ном перемещении , а – элементарное приращение того же вектора на переносном перемещении .
Согласно (*) .
Скорость точки в случае плоскопоступательного движения (скорость полюса)
(****)
Когда переносное движение не является поступательным (), значения в точках М и М/ будут разными.
Вследствие этого вектор на относительном перемещении и получает приращение (см. рис в) - значение в точке М/, т.е в момент , а пунктиром показан вектор в точке М, т.е. в момент времени .
Чтобы найти необходимо, продифференцировать равенство (****), считая в нем и постоянными, а вектор изменяется только в относительном движении.
Тогда будем иметь:
, где
Следовательно
В результате из равенства (***) находим
(В)
Найденные в ходе расчетов соотношения (А, В) показывают, что в общем случае производные действительно отличаются от и причем на одну и туже величину ().
Введем обозначение
(25)
Величина, характеризующая изменения вектора относительной скорости в переносном движении и вектора в относительном движении, называется поворотным или кориолисовым ускорением.
Окончательно получим
. (26)
Формула выражает теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, характеризующего изменение относительной скорости точки в относительном движении, переносного, характеризующего изменение переносной скорости точки в переносном движении и кориолисова, характеризующего изменение относительной скорости в переносном движении и переносной скорости в относительном движении.
Если переносное движение поступательное, то и . Тогда .
Направление определятся по правилу векторного произведения. Кроме того, направление определяется по правилу Н.Е. Жуковского.
Чтобы определить направление вектора ускорения Кориолиса, следует вектор относительной скорости спроектировать на плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости переносного вращения, полученный при этом вектор следует повернуть в этой плоскости на угол 900 в сторону .
Рис. 2.17
Причины появления ускорения Кориолиса
Причиной появления ускорения Кориолиса является взаимное влияние относительного движения на переносное и переносного на относительное. В результате этого влияния переносная скорость меняет модуль и направление, а вектор относительной скорости – направление.
Пример
Пусть по радиусу диска, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска, перемещается равномерно человек с относительной скоростью . Для какого-либо фиксированного момента времени , то есть переносная скорость человека – скорость той точки диска, где в данный момент времени находится человек.
Рис. 2.18
Пусть в момент времени человек занимает положение М/. Очевидно, что за время относительная скорость изменяется по направлению от до вследствие вращательного переносного движения. Вследствие относи-тельного движения человека из точки М в точку М/ модуль переносной скорости изменяется:
Указанные изменения вызывают появление Кориолисова ускорения.