- •Раздел первый статика твердого тела
- •1. Основные понятия статики
- •1.1. Введение
- •1.2 Аксиомы статики.
- •1.3. Несвободное твёрдое тело
- •2. Плоская система сил
- •2.1. Система сходящихся сил
- •2.2. Произвольная плоская система сил
- •3. Пространственная система сил.
- •3.1. Системы сходящихся сил.
- •3.2. Произвольная пространственная система сил.
- •Центр тяжести.
- •Раздел второй кинематика.
- •1. Введение
- •2. Движение точки.
- •2.1. Способ задания движения.
- •2.2. Скорость точки.
- •2.3. Ускорение точки.
- •3. Простейшие движения твердого тела.
- •Поступательное движение тела.
- •Вращательное движение твердого тела.
- •Уравнения равномерного вращения тела
- •Уравнения равнопеременного вращения тела
- •Сложное движение точки.
- •4.1. Основные понятия.
- •Сложение скоростей.
- •4.3. Сложение ускорений. Теорема Кориолиса.
- •Плоское движение твердого тела.
- •5.1. Введение
- •5.2. Скорости точек тела при плоском движении.
- •5.3. Мгновенный центр скоростей (мцс)
- •Определение скорости точки плоской фигуры с помощью мцс
- •5.4. Ускорения точек при плоском движении.
- •5.5. Мгновенный центр ускорений (мцу)
- •Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении.
- •6. Сложное движение твердого тела.
- •6.1. Сложение поступательных движений.
- •6.2. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей.
- •6.3. Пара вращений.
- •6.4. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.
- •6.5. Сложение поступательного и вращательного движений.
- •1.2. Законы динамики.
- •1.3. Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки.
- •2. Дифференциальные уравнения движения точки и их интегрирование.
- •2.1. Прямолинейное движение точки.
- •2.2. Криволинейное движение точки.
- •3. Общие теоремы динамики точки.
- •3.1. Количество движения и кинетическая энергия точки.
- •3.2. Импульс силы.
- •3.3. Теорема об изменении количества движения точки.
- •3.4. Работа силы. Мощность.
- •3.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
- •3.6. Теорема об изменении момента количества движения (теорема моментов).
- •4. Прямолинейные колебания точки
- •4.1. Свободные колебания без учёта сил сопротивления.
- •4.2. Свободные колебания при сопротивлении, пропорциональном скорости (затухающие колебания)
- •4.3. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •1.2. Масса системы. Центр масс.
- •2. Теорема о движении центра масс системы.
- •2.1. Дифференциальные уравнения движения системы.
- •2.2. Теорема о движении центра масс.
- •2.3. Закон сохранения движения центра масс.
- •3. Теорема об изменении количества движения системы.
- •3.1. Количество движения системы.
- •3.2. Теорема об изменении количества движения.
- •3.3. Закон сохранения количества движения.
- •4. Теорема об изменении момента количества движения системы.
- •4.1. Момент инерции тела относительно оси.
- •4.2. Главный момент количества движения системы.
- •4.3. Теорема об изменении главного момента количества движения системы (теорема моментов).
- •4.4. Закон сохранения главного момента количества движения.
- •5. Теорема об изменении кинетической энергии системы.
- •5.1. Кинетическая энергия системы.
- •5.2. Некоторые случаи вычисления работы.
- •5.3. Теорема об изменении кинетической энергии системы.
- •5.4.Потенциальное силовое поле и силовая функция.
- •5.5. Потенциальная энергия
- •5.6.Закон сохранения механической энергии
- •Оглавление
-
Плоское движение твердого тела.
5.1. Введение
Движение твердого тела называется плоским или плоскопараллельным, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.
Рис. 2.19
Рассмотрим произвольное плоское движение твердого тела. Пусть все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных плоскостях Оху.
Рис. 2.20
Из определения плоского движения и из свойств твердого тела (углы между прямыми, фиксированными в твердом теле, сохраняются неизменными) следует, что любая прямая АВ, проведенная в теле перпендикулярна плоскости Оху, будет перемещаться поступательно, то есть траектории, скорости, ускорения всех точек этой прямой будут одинаковы.
Таким образом, для определения движения тела необходимо знать движение лишь одной точки на каждой прямой, проведенной перпендикулярно плоскости Оху. Взяв точки в одной плоскости, параллельно плоскости Оху, мы можем утверждать, что плоское движение твердого тела вполне определяется движением плоской фигуры, полученной от пересечения тела любой плоскостью, параллельной плоскости Оху.
Итак, задание движения тела сводится к заданию движения одного его сечения. Поэтому будем изображать только плоскую фигуру – сечение тела и изучать движение точек этого сечения в его плоскости.
Рис. 2.21
Свяжем жестко с плоской фигурой систему координат А,х,у. Тогда положение системы А,х,у, а вместе с ней и плоской фигуры относительно О,х1,у 1 будет определено заданием координат хА,уА точки А и углом между осями Ах2 и Ах (оси Ах2 и Ау2 соответственно параллельно осям Ох1 и Оу1 и перемещаются при движении плоской фигуры поступательно).
Таким образом, определяют положение плоской фигуры в любой момент времени, то есть уравнения движения плоской фигуры.
5.2. Скорости точек тела при плоском движении.
Теорема. Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости точки, принятой за полюс и скорости данной точки при вращении плоской фигуры вокруг полюса.
Доказательство:
Рассмотрим плоскую фигуру. Точку А примем за полюс. Вычислим скорость точки В.
Р ис. 2.22
Радиус-вектор – определяет положение точки В относительно 0х1у1.
Радиус-вектор – определяет положение точки А относительно 0х1у1.
Радиус-вектор – определяет положение точки В относительно 0х2у2.
Очевидно .
Продифференцируем по времени обе части записанного уравнения:
(*)
Заметим, что
скорость точки В относительно подвижной системы координат Ах2у2.
Введем обозначение .
Движение тела относительно Ах2у2 представляет собой вращение тела вокруг оси Аz2, перпендикулярно плоскости чертежа. Таким образом, – это скорость точки В при вращении тела вокруг оси, проходящей через полюс А, то есть с учетом формулы Эйлера.
и равенство (*) примет вид
(27)
Модуль скорости определяется следующим образом:
При этом вектор перпендикулярен АВ ().
Теорема. Проекции скоростей двух точек на прямую, их соединяющую, равны.
Д оказательство:
Рис. 2.23
Пусть скорость точки А известна – . Согласно предыдущей теореме для скорости точки В имеем .
Спроектируем обе части этого равенства на ось х
, , так как , то есть .