2. Движение точки.

2.1. Способ задания движения.

Задать движение точки по отношению к избранной системе отсчета – это значит указать способ, при помощи которого можно определить положение точки в любой момент времени.

Существуют три способа задания движения:

1. Векторный способ.

Положение точки в пространстве однозначно определенном заданием радиуса – вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в данную точку М.

Для определения движения точки нужно знать, как изменяется с течением времени , то есть должна быть известна функция

Рис. 2.1

. (1)

Годографом какого-либо вектора называют кривую, которую вычерчивает конец этого вектора при изменении его аргумента (предполагается, что начало вектора, находится в одной и той же точке).

Таким образом, годографом радиус – вектора является траектория точки.

2. Координатный способ.

Положение точки М в системе координат ОХУ определяется координатами х, y, z.

При движении точки М ее координаты изменяются с течением времени. Следовательно, координаты х, y, z движущейся точки, являются функциями времени

_{Рис. 2.2}

(2)

Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Пусть движение точки М в плоскости задано уравнениями:

Из первого уравнения выразим время и подставим во второе: – полученная зависимость есть уравнение траектории точки.

3. Естественный способ задания движения.

Этот способ применяется в том случае, если траектория точки заранее известна.

Выберем на траектории неподвижную точку О, которую назовем началом отсчета дуговой координаты. Положение точки М на траектории будем определять дуговой координатой S, отложенной на траектории от начала отсчета О. Расстояния, отложенные в одну сторону от точки О, будем считать положительными, в другую – отрицательными, то есть установим

Рис. 2.3 направление отсчета дуговой координаты. При движении

точки М расстояние S от этой точки до неподвижной

точки О изменяется с течением времени:

– уравнение движения т. М (3)

2.2. Скорость точки.

1. Векторный способ задания движения.

Пусть в момент времени положение точки М определяется , а в момент .

Рис. 2.4

Вектор будем называть вектором перемещения точки за время . Отношение к _, называется средней скоростью за промежуток времени

(4)

Скоростью точки в данный момент времени называется предел отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, за которое произошло это перемещение, при стремлении этого промежутка времени к нулю

(5)

Скорость точки – это вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения.

2. Координатный способ задания движения.

Пусть движение точки задано

Тогда для радиуса – вектора точки М можно записать

, (*)

где – единицы орты осей х, y, z.

Согласно (5) .

Дифференцируем (*)

. (**)

С другой стороны для вектора справедливо соотношение

, (***)

где – проекции на оси х, y, z.

Сравнивая (**) и (***), получим

(6)

Модуль скорости точки

(7)

Направление скорости определяется направляющими косинусами:

3. Естественный способ задания движения.

Пусть в момент времени t положение точки М определяется координатой S, в момент –

Согласно (5)

(*)

Вычислим модуль и определим направление :

Вектор направлен так же, как .

Рис. 2.5

При направлении этого вектора стремится к направлению касательной к траектории в точке М.

Обозначим единичный орт касательной через

,

Таким образом , следовательно , так как .

Равенство (*) примет вид:

(8)

Модуль , направление совпадает с .