- •1. Событие. Классификация событий
- •2. Вероятность события. Свойства вероятности. Классическая вероятность
- •3. Статистическое определение вероятности
- •4. Геометрическая вероятность
- •5. Задача о встрече
- •6. Действия над событиями
- •7. Теорема сложения вероятностей
- •8. Теорема умножения вероятностей
- •9. Условная вероятность события
- •10. Следствия из теоремы умножения вероятностей
- •11. Формула полной вероятности
- •12. Теорема гипотез. ( Формула Байеса )
- •13. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •14. Закон распределения
- •15. Функция распределения
- •16. Общие свойства функции распределения
- •17. Плотность распределения
- •18. Основные свойства плотности распределения
- •19. Математическое ожидание и его свойства
- •20. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •21. Мода и медиана
- •22. Дисперсия случайной величины
- •23. Свойства дисперсии
- •27. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •30. Корреляционный момент случайных величин и его свойства
- •31. Коэффициент корреляции и его свойства
- •32. Формула Бернулли
- •33. Наивероятнейшее число наступления события
- •34. Асимптотические формулы вычисления вероятностей
- •35. Биномиальный закон распределения
- •36. Закон распределения Пуассона
- •37. Равномерный закон распределения
- •38. Показательный закон распределения
- •39. Нормальный закон распределения
- •40. Математическое ожидание нормального закона распределения
- •41. Дисперсия нормального закона распределения
- •44. Неравенство Маркова
- •45. Неравенство Чебышева
- •46. Теорема Чебышева
- •47. Теорема Бернулли
- •48. Теорема Ляпунова
- •49. Интегральная теорема Лапласа
- •50. Виды статистических наблюдений
- •Виды статистических наблюдений:
- •51. Виды измерений
- •Количественные измерения
- •Порядковые (ранговые) измерения
- •Номинальные измерения
- •Статистические таблицы
- •52. Методы ранжирования
- •53. Группировка и табулирование количественных данных
- •54. Графическое изображение вариационных рядов
- •55. Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое)
- •56. Показатели вариации
- •57. Ассиметрия и эксцесс
- •58. Эмпирическая функция распределения
- •59. Точечные интервальные оценки
- •60. Доверительные интервалы
27. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
Пусть у нас имеется случайный вектор , распределение которого дается таблицей:
-
1
Рассмотрим функцию распределения случайной величины при условии, что приняло значение , . Эту обозначают . Найдем вероятность того, что приняло значение , когда приняло значение :
.
Аналогично
.
В случае непрерывного распределения вектора появляются условные плотности распределения , когда , и , когда , то есть и . Можно показать, что
где – плотность распределения случайной величины , а – плотность распределения У.
Случайная величина называется независимой от случайной величины , если распределение не зависит от того, какое значение приняло . Аналогично определяется независимость от . Свойство независимости случайных величин взаимно. Если величины и независимы, то в этом случае (дискретное распределение) и (непрерывное распределение).
Пример. Для случайного вектора плотность распределения:
Найти функцию распределения случайного вектора , случайных величин и , условные плотности распределения.
Решение. Сначала определим корректность задания случайного вектора .
-
- очевидно.
Найдем функцию распределения данного случайного вектора .
Для всех других точек
при
при .
Аналогично
при и при .
Аналогично при и при .
Мы видим, что в данном примере и - независимые величины.
28-29. Функция одной случайной величины
Пусть дана функция одной переменной с областью определения и некоторая случайная величина , все значения которой принадлежат множеству . Тогда, если приняла значение , будем считать, что новая случайная величина приняла значение . Эта новая случайная величина называется функцией случайной величины , и в этом случае пишут: .
Вопрос состоит в том, каков закон распределения , если мы знаем закон распределения .
Остановимся сначала на дискретной случайной величине , закон распределения вероятностей которой задается таблицей
|
||||
Событие происходит с вероятностью , с этой же вероятностью примет значение . Мы имеем таблицу распределения
Значения |
|
|||
вероятности |
Если существует несколько значений , для которых принимает одно и то же значение, то все такие случаи объединяются в один, которому соответствует по теореме сложения вероятность, равная сумме вероятностей объединяемых случаев.
Пример. Пусть распределение случайной величины задается следующим образом:
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
0.1 |
0.1 |
0.3 |
0.3 |
0.2 |
Требуется найти законы распределения случайных величин и .
Решение. Возможные значения : . Отсюда принимает значения 0, 1, 4 соответственно с вероятностями 0.3; 0.1+0.3=0.4; 0.1+0.2=0.3. Таким образом, таблицей распределения будет таблица вида
0 |
1 |
4 |
|
0.3 |
0.4 |
0.3 |
Так как функция - взаимно однозначная, то различным значениям отвечают различные значения и, следовательно, таблицей распределения этой случайной величины будет таблица вида
-8 |
-1 |
0 |
1 |
8 |
|
0.1 |
0.1 |
0.3 |
0.3 |
0.2 |
Теперь остановимся на случае, когда - непрерывная случайная величина с плотностью распределения . Пусть имеется монотонно возрастающая на множестве значений случайной величины функция ( - непрерывно дифференцируемая и ). Если множество значений и и ,то функция распределения
0
. Здесь – есть плотность распределения .
Для
(- функция, обратная к на сегменте ). Отсюда
(мы воспользовались теоремой Барроу о производной от определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому верхнему пределу).
Если - монотонно убывающая функция и для всех из промежутка , то для функция распределения имеет вид
,
а плотность - , так как - функция монотонно убывающая и ее производная отрицательная.
Пример. Пусть принимает значения только на сегменте с плотностью распределения . Найти плотность распределения случайной величины .
Решение. – функция монотонная возрастающая, обратная к ней функция , а . Поэтому, плотность распределения будет
Пример. Даны две независимые случайные величины: – число появлений герба при двух подбрасываниях монеты и – число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти закон распределения разности .
Решение. Запишем законы распределения данных случайных величин и .
0 |
1 |
4 |
|
и
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
Составим таблицу распределения случайной величины , полагая .
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
||||||||||
|
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
1 |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
Тогда
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|
или
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
|