- •1. Событие. Классификация событий
- •2. Вероятность события. Свойства вероятности. Классическая вероятность
- •3. Статистическое определение вероятности
- •4. Геометрическая вероятность
- •5. Задача о встрече
- •6. Действия над событиями
- •7. Теорема сложения вероятностей
- •8. Теорема умножения вероятностей
- •9. Условная вероятность события
- •10. Следствия из теоремы умножения вероятностей
- •11. Формула полной вероятности
- •12. Теорема гипотез. ( Формула Байеса )
- •13. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •14. Закон распределения
- •15. Функция распределения
- •16. Общие свойства функции распределения
- •17. Плотность распределения
- •18. Основные свойства плотности распределения
- •19. Математическое ожидание и его свойства
- •20. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •21. Мода и медиана
- •22. Дисперсия случайной величины
- •23. Свойства дисперсии
- •27. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •30. Корреляционный момент случайных величин и его свойства
- •31. Коэффициент корреляции и его свойства
- •32. Формула Бернулли
- •33. Наивероятнейшее число наступления события
- •34. Асимптотические формулы вычисления вероятностей
- •35. Биномиальный закон распределения
- •36. Закон распределения Пуассона
- •37. Равномерный закон распределения
- •38. Показательный закон распределения
- •39. Нормальный закон распределения
- •40. Математическое ожидание нормального закона распределения
- •41. Дисперсия нормального закона распределения
- •44. Неравенство Маркова
- •45. Неравенство Чебышева
- •46. Теорема Чебышева
- •47. Теорема Бернулли
- •48. Теорема Ляпунова
- •49. Интегральная теорема Лапласа
- •50. Виды статистических наблюдений
- •Виды статистических наблюдений:
- •51. Виды измерений
- •Количественные измерения
- •Порядковые (ранговые) измерения
- •Номинальные измерения
- •Статистические таблицы
- •52. Методы ранжирования
- •53. Группировка и табулирование количественных данных
- •54. Графическое изображение вариационных рядов
- •55. Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое)
- •56. Показатели вариации
- •57. Ассиметрия и эксцесс
- •58. Эмпирическая функция распределения
- •59. Точечные интервальные оценки
- •60. Доверительные интервалы
11. Формула полной вероятности
Следствием обеих теорем - теоремы сложения и умножения - является так называемая формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. Будем называть эти события гипотезами.
Докажем, что в этом случае
, (*)
т. е. вероятность события вычисляется как сумма произведений вероятности любой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.
Формула (*) носит название формулы полной вероятности.
Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу событий, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез
.
Т. к. гипотезы несовместны, то и комбинации - также несовместны. Покажем это - . Применяя к ним теорему сложения, получим
.
Применяя к событию теорему умножения, получим
,
что и требовалось доказать.
Пример. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 30% , вторая- 25% , третья- 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2% , 1% и 3% . Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным.
Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что случайно выбранный болт – дефектный, а через – события, состоящие в том, что этот болт произведен соответственно 1-ой, 2-ой и 3-ей машинами. Из условия задачи следует, что , , ; , , .
По формуле полной вероятности получаем, что =0.3·0.02+0.25·0.01+0.45·0.3=0.022.
12. Теорема гипотез. ( Формула Байеса )
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является так называемая гипотез, или формула Байеса. Поставим следующую задачу.
Имеется полная группа несовместных гипотез . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно . Произведен опыт, в результате которого наблюдено появление некоторого события . Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?
Здесь, по существу, речь идет о том, чтобы найти условную вероятность для каждой гипотезы.
Из теоремы умножения имеем:
или, отбрасывая левую часть,
откуда
,
Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности, имеем
,
Пример. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы по мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.
Решение. До опыта возможны следующие гипотезы:
ни первый, ни второй не попадут;
оба попадут;
первый попадет, второй нет;
первый не попадет, второй попадет.
Вероятность этих гипотез:
=0,20,6=0,12; =0,32; =0,80,6=0,48; =0,20,4=0,08.
Условные вероятности наблюденного события при этих гипотезах:
; ; ;.
После опыта невозможные гипотезы и .
.
13. Дискретные и непрерывные случайные величины
Как уже было сказано, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известно заранее, какое именно. Различают величины дискретного и непрерывного типа. Возможные значения дискретной величины могут быть заранее перечислены.
Возможные значения непрерывной величины не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Примеры дискретных случайных величин:
-
число появлений герба при 3-х бросаниях монеты: 0, 1, 2, 3;
-
число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов0,1,2,3,4,5;
-
число попаданий в самолет, достаточное для вывода его из строя1,2,3,…,,…;
-
число сбитых в воздушном бою самолетов0,1,2,…,; где общее число боевых самолетов.
Примеры непрерывных случайных величин:
-
абсцисса (ордината) попадания при выстреле;
-
расстояние от точки попадания до центра мишени;
-
ошибка измерителя высоты;
-
время безотказной работы радиолампы.
Будем обозначать случайные величины большими буквами , а их возможные значения соответствующими малыми буквами. Например, число попаданий при 3-х выстрелах; возможные значения - .
Рассмотрим дискретную случайную величину с возможными значениями . может принимать любое из этих значений с некоторой вероятностью. В результате опыта произойдет одно из полной группы событий . Вероятности этих событий обозначим буквой с соответствующими индексами –
.
Т.к. эти несовместные события образуют полную группу, то.