- •1. Событие. Классификация событий
- •2. Вероятность события. Свойства вероятности. Классическая вероятность
- •3. Статистическое определение вероятности
- •4. Геометрическая вероятность
- •5. Задача о встрече
- •6. Действия над событиями
- •7. Теорема сложения вероятностей
- •8. Теорема умножения вероятностей
- •9. Условная вероятность события
- •10. Следствия из теоремы умножения вероятностей
- •11. Формула полной вероятности
- •12. Теорема гипотез. ( Формула Байеса )
- •13. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •14. Закон распределения
- •15. Функция распределения
- •16. Общие свойства функции распределения
- •17. Плотность распределения
- •18. Основные свойства плотности распределения
- •19. Математическое ожидание и его свойства
- •20. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •21. Мода и медиана
- •22. Дисперсия случайной величины
- •23. Свойства дисперсии
- •27. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •30. Корреляционный момент случайных величин и его свойства
- •31. Коэффициент корреляции и его свойства
- •32. Формула Бернулли
- •33. Наивероятнейшее число наступления события
- •34. Асимптотические формулы вычисления вероятностей
- •35. Биномиальный закон распределения
- •36. Закон распределения Пуассона
- •37. Равномерный закон распределения
- •38. Показательный закон распределения
- •39. Нормальный закон распределения
- •40. Математическое ожидание нормального закона распределения
- •41. Дисперсия нормального закона распределения
- •44. Неравенство Маркова
- •45. Неравенство Чебышева
- •46. Теорема Чебышева
- •47. Теорема Бернулли
- •48. Теорема Ляпунова
- •49. Интегральная теорема Лапласа
- •50. Виды статистических наблюдений
- •Виды статистических наблюдений:
- •51. Виды измерений
- •Количественные измерения
- •Порядковые (ранговые) измерения
- •Номинальные измерения
- •Статистические таблицы
- •52. Методы ранжирования
- •53. Группировка и табулирование количественных данных
- •54. Графическое изображение вариационных рядов
- •55. Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое)
- •56. Показатели вариации
- •57. Ассиметрия и эксцесс
- •58. Эмпирическая функция распределения
- •59. Точечные интервальные оценки
- •60. Доверительные интервалы
8. Теорема умножения вероятностей
Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом:
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место
(*)
Докажем теорему умножения для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые мы изобразим в виде n точек:
~ ~
. . . . . . . . . . . .
~
Предположим, что событию благоприятны случаев, а событию благоприятны k случаев. Мы не предполагали, что и несовместны, следовательно существуют случаи благоприятные и и одновременно. Пусть число таких случаев . Тогда
;
Вычислим P(B/A), т.е. условную вероятность в предположении, что имело место. Если известно, что событие произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятствовали событию . Из них l случаев благоприятны событию . Следовательно
.
Подставляя полученные выражения , и в (*) получим тождество
.
9. Условная вероятность события
Перед тем, как излагать теорему умножения вероятностей, введем еще одно важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.
Событие называется независимым от события В, если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.
Событие называется зависимым от события В, если вероятность события меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.
Рассмотрим примеры:
1) Опыт состоит в бросании 2x монет. Событие – выпал герб на 1-ой монете; – выпал герб на второй монете. В данном случае вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет. Событие независимо от события
2) В урне 2 белых шара и один черный. Два человека вынимают из урны по одному шару. Событие - белый шар у первого человека; - белый шар у второго человека. Вероятность до того, как известно что-либо о , равна . Если известно, что - произошло, то вероятность становится равной , из чего следует, что событие зависит от события .
Вероятность события , вычисленная при условии, что имело место другое событие , называется условной вероятностью события А, и обозначается .
Для условий последнего примера
;
Условия независимости события от события можно записать как , условия зависимости .
10. Следствия из теоремы умножения вероятностей
Следствие 1. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .
Доказательство. Дано, что не зависит от , т.е. (**)
Требуется доказать, что и событие не зависит от события , т. е. (**)
При доказательстве предполагаем, что . Напишем теорему вероятностей в двух формах:
или принимая во внимание выше . Разделим обе части на . Тогда .
Из этого следствия вытекает, что зависимость и независимость событий всегда взаимны.
Дадим другое определение.
Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Это следствие непосредственно вытекает из определения независимых событий.
Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так:
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:
Доказательство проводится методом полной индукции. В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:
,
т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий или
.
Пример 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые.
- появление двух белых шаров, - белый шар при первом вынимании, - белый шар при втором вынимании; .
По теореме .
Пример 2. Те же условия, но после первого вынимания шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.
Тогда .