14. Закон распределения

Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана, с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий . Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.

Формой задания закона является таблица

Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины X.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения .

Полигон распределения

p₁

x_i

x₁ x₂ x₃ … x_n

Многоугольник распределения  также одна из форм закона распределения.

15. Функция распределения

Мы рассмотрели закон распределения дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины такую характеристику построить нельзя. Непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (несчетное множество). Для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения, как он существует для дискретной величины. Но различные области возможных значений случайных величин все же не является одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует распределение вероятностей, хотя и не в том смысле, как для прерывной.

Для количественной характеристики, этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события , а вероятностью события , где – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией распределения случайной величины и обозначается , .

Функцию распределения иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения есть самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как дискретных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т. е. является одной из форм закона распределения.

16. Общие свойства функции распределения

Сформулируем общие свойства функции распределения:

1. - неубывающая, т.е. при , ;

2. ;

3. .

Проиллюстрируем эти свойства с помощью геометрической интерпретации. Будем рассматривать случайную величину как случайную точку на оси ОХ.

Тогда есть вероятность того, что случайная точка в результате опыта попадет левее точки .

Очевидно, при этом вероятность того, что попадет левее , не может уменьшаться; следовательно, с возрастанием убывать не может.

Неограниченно перемещаем точку влево по оси абсцисс. При этом попадание случайной точки левее в пределе становится невозможным событием: естественно полагать, что вероятность этого события  0, т.е. .

Аналогично перемещая точку вправо, убеждаемся, что , т. к. событие становится в пределе достоверным.

То, что – монотонно неубывающая функция на всей числовой прямой, можно показать следующим образом: пусть . Рассмотрим событие = и = . , . Применим теорему сложения для несовместных событий и :

или , т.е. , т.к. .

Из полученного только что равенства имеем:

.

Отсюда следует, что какой бы ни был задан полуинтервал , зная , мы можем рассчитывать вероятность, с которой случайная величина принимает значение . Если вероятность оказалась, например, равной нулю, то это значит, что на данном промежутке нет возможных значений .

Построим график функции распределения – это график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь разрывы.

F(X)

1

0 X

Зная ряд распределения случайной величины легко построить функцию распределения этой величины. Действительно,

,

где неравенство под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения , которые меньше .

Пример. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых может появиться или не появиться событие . Построить функцию распределения числа появлений события .

Решение. Обозначим через - число появлений события в четырех опытах. Эта величина имеет ряд распределения

	0	1	2	3	4
	0.2401	0.4116	0.2646	0.0756	0.0081

Построим функцию распределения случайной величины

1. при 0 =0

2. при 0<1 =0,2401

3. при 1<2 =0,6517

4. при 2<3 =0,9163

5. при 3<4 =0,991

6. при 4> =1

0 1 2 3 4

Функция распределения любой дискретной величины есть разрывная ступенчатая функция, разрывы которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины.

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число разрывов становится больше, а сами разрывы (скачки) меньше; ступенчатая кривая становится более плавной; случайная величина приближается к непрерывной случайной величине, а ее функция распределения - к непрерывной функции.

На практике обычно функция распределения для непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках.

1 ----------------------

0.