- •1. Событие. Классификация событий
- •2. Вероятность события. Свойства вероятности. Классическая вероятность
- •3. Статистическое определение вероятности
- •4. Геометрическая вероятность
- •5. Задача о встрече
- •6. Действия над событиями
- •7. Теорема сложения вероятностей
- •8. Теорема умножения вероятностей
- •9. Условная вероятность события
- •10. Следствия из теоремы умножения вероятностей
- •11. Формула полной вероятности
- •12. Теорема гипотез. ( Формула Байеса )
- •13. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •14. Закон распределения
- •15. Функция распределения
- •16. Общие свойства функции распределения
- •17. Плотность распределения
- •18. Основные свойства плотности распределения
- •19. Математическое ожидание и его свойства
- •20. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •21. Мода и медиана
- •22. Дисперсия случайной величины
- •23. Свойства дисперсии
- •27. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •30. Корреляционный момент случайных величин и его свойства
- •31. Коэффициент корреляции и его свойства
- •32. Формула Бернулли
- •33. Наивероятнейшее число наступления события
- •34. Асимптотические формулы вычисления вероятностей
- •35. Биномиальный закон распределения
- •36. Закон распределения Пуассона
- •37. Равномерный закон распределения
- •38. Показательный закон распределения
- •39. Нормальный закон распределения
- •40. Математическое ожидание нормального закона распределения
- •41. Дисперсия нормального закона распределения
- •44. Неравенство Маркова
- •45. Неравенство Чебышева
- •46. Теорема Чебышева
- •47. Теорема Бернулли
- •48. Теорема Ляпунова
- •49. Интегральная теорема Лапласа
- •50. Виды статистических наблюдений
- •Виды статистических наблюдений:
- •51. Виды измерений
- •Количественные измерения
- •Порядковые (ранговые) измерения
- •Номинальные измерения
- •Статистические таблицы
- •52. Методы ранжирования
- •53. Группировка и табулирование количественных данных
- •54. Графическое изображение вариационных рядов
- •55. Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое)
- •56. Показатели вариации
- •57. Ассиметрия и эксцесс
- •58. Эмпирическая функция распределения
- •59. Точечные интервальные оценки
- •60. Доверительные интервалы
20. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
Пусть – непрерывная случайная величина, которая принимает значения на [a,b].Тогда плотность распределения вне [a,b] равна 0. Разобьем [a,b] на частей точками
. Тогда получим отрезки , , … , , … , . По теореме о среднем имеем
Здесь - плотность распределения , , . Рассмотрим дискретную случайную величину , которая принимает значения с вероятностями . Так как
, ,
то случайная величина определена корректно.
Математическое ожидание дискретной случайной величины мы находить умеем, следовательно
.
Это интегральная сумма для непрерывной функции на [a,b]. Пусть . Тогда дискретная величина будет все менее и менее отличаться от непрерывной случайной величины , а в пределе она становится непрерывной. Поэтому естественно за математическое ожидание непрерывной величины взять предел математического ожидания , если последний существует.
Так как -непрерывная функция, то
Аналогично, если принимает значения на всей числовой прямой, то
21. Мода и медиана
Кроме важнейшей из характеристик наложения - математического ожидания - на практике иногда применяются и другие характеристики наложения, в частности, мода и медиана случайной величины.
Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Термин “наиболее вероятное значение”, строго говоря, применим только к прерывным величинам; для непрерывной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна. Обозначается буквой .
Pi f(x)
0 xi 0 x
Часто применяется еще одна характеристика положения – медиана случайной величины. Медианой случайной величины называется такое ее значение , для которого
т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше . Геометрически медиана, это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.
22. Дисперсия случайной величины
Математическое ожидание случайной величины характеризует ее в среднем, это центр ее распределения.
Дисперсия случайной величины есть характеристика распределения, разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания. Само слово дисперсия означает ”рассеивание”.
Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания
.
Если - дискретная случайная величина, которая задается как
То
Когда - непрерывная случайная величина с плотностью распределения , то
.
Пример1. Найти дисперсию случайной величины числа выпавших очков при подбрасывании игральной кости.
Решение. Здесь X=m с вероятностью pm=1/6, m=1,2,3,4,5,6.
Пример 2. Найти дисперсию случайной величины , которая принимает значения только на промежутке [-] с плотностью .
,
Дисперсия как мера рассеивания значений случайной величины обладает тем недостатком, что ее размерность не совпадает с размерностью случайной величины (размерность дисперсии – это квадрат размерности случайной величины).
Поэтому вводится еще одна мера рассеивания с размерностью, совпадающей с размерностью случайной величины. Это так называемое среднее квадратичное отклонение, которое определяется как корень квадратный из дисперсии. Среднее квадратичное отклонение обозначается символом: или ,