- •1. Событие. Классификация событий
- •2. Вероятность события. Свойства вероятности. Классическая вероятность
- •3. Статистическое определение вероятности
- •4. Геометрическая вероятность
- •5. Задача о встрече
- •6. Действия над событиями
- •7. Теорема сложения вероятностей
- •8. Теорема умножения вероятностей
- •9. Условная вероятность события
- •10. Следствия из теоремы умножения вероятностей
- •11. Формула полной вероятности
- •12. Теорема гипотез. ( Формула Байеса )
- •13. Дискретные и непрерывные случайные величины
- •14. Закон распределения
- •15. Функция распределения
- •16. Общие свойства функции распределения
- •17. Плотность распределения
- •18. Основные свойства плотности распределения
- •19. Математическое ожидание и его свойства
- •20. Математическое ожидание непрерывной случайной величины
- •21. Мода и медиана
- •22. Дисперсия случайной величины
- •23. Свойства дисперсии
- •27. Условные законы распределения. Зависимые и независимые случайные величины
- •30. Корреляционный момент случайных величин и его свойства
- •31. Коэффициент корреляции и его свойства
- •32. Формула Бернулли
- •33. Наивероятнейшее число наступления события
- •34. Асимптотические формулы вычисления вероятностей
- •35. Биномиальный закон распределения
- •36. Закон распределения Пуассона
- •37. Равномерный закон распределения
- •38. Показательный закон распределения
- •39. Нормальный закон распределения
- •40. Математическое ожидание нормального закона распределения
- •41. Дисперсия нормального закона распределения
- •44. Неравенство Маркова
- •45. Неравенство Чебышева
- •46. Теорема Чебышева
- •47. Теорема Бернулли
- •48. Теорема Ляпунова
- •49. Интегральная теорема Лапласа
- •50. Виды статистических наблюдений
- •Виды статистических наблюдений:
- •51. Виды измерений
- •Количественные измерения
- •Порядковые (ранговые) измерения
- •Номинальные измерения
- •Статистические таблицы
- •52. Методы ранжирования
- •53. Группировка и табулирование количественных данных
- •54. Графическое изображение вариационных рядов
- •55. Показатели центра распределения (мода, медиана, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее геометрическое)
- •56. Показатели вариации
- •57. Ассиметрия и эксцесс
- •58. Эмпирическая функция распределения
- •59. Точечные интервальные оценки
- •60. Доверительные интервалы
30. Корреляционный момент случайных величин и его свойства
Пусть имеется случайный вектор , распределение которого известно, т. е. известна таблица или плотность распределения . Тогда , . По известному закону распределения можно найти также дисперсии составляющих вектор. Пусть и . Однако математические ожидания и дисперсии случайных величин и недостаточно полно характеризуют случайный вектор , т. к. не выражают степень зависимости составляющих вектора. Эту роль выполняют корреляционный момент и коэффициент корреляции.
Корреляционным моментом случайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:
.
Если распределение дискретное, то
.
При непрерывном распределении
.
Корреляционный момент обладает следующими свойствами:
-
– свойство симметричности. Оно очевидно.
-
Если и независимые случайные величины, то
Обратное, вообще говоря, не имеет места. Если , то в этом случае величины и называются некоррелированными.
-
. Действительно, ;
31. Коэффициент корреляции и его свойства
Если отклонения случайных величин заменить их нормированными отклонениями, то получим безмерную величину - коэффициент линейной корреляции :
Свойства коэффициента линейной корреляции вытекают из свойств корреляционного момента:
-
;
-
;
-
;
-
Если и – независимые случайные величины, то ;
-
Если то между и существует линейная функциональная зависимость. Доказательство проведем для случая :
Получили, что математическое ожидание неотрицательной величины равно нулю, сама эта величина - тождественный нуль:
,
что и требовалось доказать.
32. Формула Бернулли
Пусть некоторый опыт воспроизводится раз и каждый раз событие может наступать с одной и той же вероятностью , независимо от результатов предыдущих опытов. В этом случае говорят о повторных независимых испытаниях. При этом событие может наступать 0, 1, 2, … , , … , раз. Число наступлений события – это случайная величина. Найдем вероятность, с которой событие наступит раз. Эту вероятность обычно обозначают символом . Интересующее нас событие – наступление раз в испытаниях, можно разбить на частные случаи, каждый из которых определяется номерами тех испытаний, в которых наступает . Пусть - это наступление в -ом испытании. Набор таких определяет отдельный случай. Например, (,,…,)- это случай, когда наступило в -ом испытании, затем -ом и т.д., во всех же остальных испытаниях не наступило. Всех случаев будет столько, сколькими способами мы можем выбрать m натуральных чисел из (1,2,3,…, ), т. е. число всех случаев – это число сочетаний из элементов по :
Найдем вероятность отдельного случая. Чтобы он наступил, должны наступить события и события , где пробегает те числа из 1,2,3,…, , которые отличны от ,,…,. Так как все указанные события независимы и операция умножения событий коммутативна, то вероятность отдельного случая
где .
Мы видим, что все частные случаи равновозможны, поэтому, применяя теорему сложения для несовместных событий, получаем
- формула Бернулли.
Пример. Пусть всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 7 посеянных семян взойдет 5?
Решение. Вероятность всхожести отдельного семени , следовательно, . По формуле Бернулли находим вероятность
.