56. Показатели вариации

Размах вариации. Лимиты.

Размах вариации (РВ) – разность наибольшего и наименьшего признаков выборки. РВ=x_max-x_min Лимиты - x_max и x_min

РВ показывает общую границу изменчивости признака. Этот показатель является слишком поверхностной оценкой, т.к. не дает представления об особенностях распределения значений внутри общих границ.

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11 и 1, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 11

Например, есть ряды наблюдений, они имеют одни и те же лимиты x_min=1, x_max=11. Для них размах вариации один и тот же, но значения признаков имеет совершенно отчетливое различие в расположении. В первом случае значения равномерно располагаются по всей области. Во втором случае концентрируются около значения 6.

Среднее линейное отклонение.

Среднее линейное отклонение МД – среднее арифметическое абсолютных величин отклонений.

МД = или МД=

Формула проста, на практике практически не используется, т.к. плохо согласуется с теоретическими оценками теории вероятностей.

Выборочная дисперсия.

Чтобы избежать необходимости оценивать отклонение по абсолютной величине используют выборочную дисперсию (). Для вычисления выборочной дисперсии в формуле для среднего отклонения абсолютные величины отклонений заменяют их квадратами, а в знаменателе n заменяют на n-1, т.е.

или

В случае, когда признак является дискретным и для него составлен дискретный вариационный ряд вида

вариата	ν1	ν2	…	νk
частота	m1	m2	…	mk

Тогда дисперсия вычисляется по формуле или k<n

Если для признака составлены интервальный вариационный ряд, то вместо вариант берутся середины интервалов.

Стандартное отклонение.

Выборочная дисперсия вычисляется как среднее квадратов отклонения. Возведение в квадрат несколько меняет оценку вариации. Чтобы избавится от такого измерения вместо диперсии используют стандартное отклонение, которое вычисляют

57. Ассиметрия и эксцесс

При оценке свойств измеряемого признака большое значение имеет симметрия частот отклонений относительно среднего арифметического. Она сказывается на форме кривой распределения. Пусть по ряду наблюдения вычислено среднее арифметическое и ряд отклонения. Распределение частот симметрично, если отклонения со знаком «+» встречаются столько раз, сколько такие же отклонения по абсолютной величине со знаком «-». Симметрию легко выявить по полигону или гистограмме. Ветви полигона симметричны относительно вершины. Для количественной оценки несимметричности распределения введен коэффициент ассиметрии (ассиметрия), который вычисляется по формуле:

- показатель ассиметрии, где s – стандартное отклонение.

Если А_s=0 распределение частот симметричное.

Если A_s>0, э.зн., что чаще встречаются отклонения со знаком «+» и говорят о правосторонней симметрии.

Если A_s<0, э.зн., что чаще встречаются отклонения со знаком «-» и говорят о левосторонней симметрии.

Эксцесс

(Обозначается Ex) – это показатель, который описывает формулу кривой распределения в смысл островершинности или плосковершинности. Чаще всего этот показатель используют для описания унимодальных распределений частот.

Вершина полигона острая, если небольшое число вариант около моды имеет превосходство в величине частоты.

Если варианты в районе моды имеют примерно сравнимые частоты, то полигон будет плосковершинным.

Значение эксцесса вычисляется по формуле:

Если Eх=0, то распределение характеризуется как нормальное.

Если Eх>0, распределение островершинное.

Если Eх<0, распределение плосковершинное.