36. Закон распределения Пуассона

Случайная величина , которая принимает значение с вероятностью

,

где , , называется распределенной по закону Пуассона с параметром . Этот закон может быть записан в виде следующей таблицы:

Значения	0	1	2	…		…
Вероятности				…		…

Данное выше определение корректно. Действительно, и

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины

.

,

Таким образом, если распределено по закону Пуассона с параметром , то

.

Согласно теореме Пуассона, распределение Пуассона – это предельный случай биномиального распределения, когда , и . По закону Пуассона распределены числа так называемых редких явлений (например, число рождения четверней, число вызовов на АТС, поступивших в течение минуты, число несчастных случаев на производстве и т.д.).

37. Равномерный закон распределения

Непрерывная случайная величина, которая принимает значения только на сегменте [a,b] с постоянной плотностью распределения, называется распределенной по равномерному закону.

Из определения следует, что плотность распределения определяется равенством

и должна удовлетворять двум требованиям:

1)

2) , , , .

Таким образом

Найдем функцию распределения данной случайной величины. Известно, что ,

Тогда согласно формуле выше, получим

Графики

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной равномерно на сегменте [a,b]:

Следовательно,

, ,

Равномерный закон распределения применяется при работе с округленными числами. Например, если число округлено до целого, то ошибка округления распределена равномерно на .

38. Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина X, которая принимает только неотрицательные значения с плотностью распределения

,

называется распределенной по показательному закону с параметром . Так как

,

т.е. приведенное определение корректно.

Функция распределения показательно распределенной случайной величины X имеет вид:

графики

Найдем математическое ожданиеи дисперсию случайной величины, распределенной по показательному закону.

Поэтому

Пример. Среднее время обслуживания покупателя 20 минут. Чему равна вероятность простоя в очереди от 20 минут до 40 минут?

Решение. Мат. ожидание . Искомая вероятность

39. Нормальный закон распределения

Случайная величина X распределена по нормальному закону, если плотность рапределения определяется по формуле

где и а – параметры распределения.

Так как и [введем замену ]

таким образом, приведенное выше определение корректно.

40. Математическое ожидание нормального закона распределения

Найдем математическое ожидание случайной величины X , распределенной по нормальному закону с параметрами и а:

Проведем замену в этом интеграле , тогда , , пределы интегрирования не меняются и, следовательно,

(интеграл от нечетной функции равен нулю по симметричному относительно начала координат промежутку).