4. Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятность – вероятность попадания точки в область.

Обозначим меру области g (длину, площадь, объем) через mes g, а меру G – через mes G (mes первые три буквы французского слова , что значит мера); обозначим буквой событие “попадания брошенной точки в область g, содержащейся в области G.” Вероятность попадания в область g точки, брошенной в область G, определяется формулой:

.

Пример. Найти вероятность того, что расстояние от брошенной точки, брошенной на отрезок единичной длины, до концов отрезка .

Решение..

5. Задача о встрече

Два студента договорились о встрече в некоторый промежуток времени [0,T], причем каждый из них приходит к месту встречи случайным образом и ждет другого не более τ минут. Найти вероятность встречи студентов.

Пусть х и у – моменты прихода студентов к месту встречи. Областью равновозможных значений х и у является квадрат площадью . Встреча произойдет, если . Этому неравенству удовлетворяют точки, лежащие в заштрихованной полосе. Площадь полосы . Тогда

.

6. Действия над событиями

Суммой, или объединением, двух событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма событий и обозначается как или .

Аналогично определяется и обозначается сумма событий – то есть событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумму событий обозначают так:

А₁+А₂+…+А_n= или А₁ А₂…А_n=

B – попадание точки в окрашенную область (например, выпа-

дение четного числа очков при бросании игральной кости (2)+(4)+(6)).

Произведением или пересечением двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение событий и обозначается через или . Аналогично определяется произведение n событий. Произведение n событий обозначают: А₁А₂…А_n=А_i или А₁А₂…А_n=A_i

- попадание точки в заштрихованную область.

Операции объединения и пересечения событий обладают некоторыми свойствами, аналогичными операциям умножения и сложения.

Эти операции коммутативны: A 

ассоциативны: (C=C)=C

C=C)=C)

дистрибутивны: С=(АС)С).

Разностью событий и называется событие , которое означает, что наступает событие и не происходит событие . Разность и обозначается так: или .

7. Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей формулируется следующим образом:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. .

Докажем теорему сложения вероятностей для схемы случаев. Пусть все исходы опыта сведены к совокупности случаев, которые мы изобразим в виде n точек:

~ A k ~ B

………………………………….

n

из этих n случаев – m благоприятны А, а k – благоприятны В. Тогда . Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны и А и В одновременно. Следовательно, событию А + В благоприятны m + n случаев и , тогда

Обобщим теорему на случай трех событий. Обозначая событие и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что

.

Методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Таким образом, теорему сложения вероятностей удобно записать в виде:

.

Следствие 1. Если события А₁, А₂, ... А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1, т.е. .

Доказательство. Так как ; образуют полную группу событий, то появление хотя бы одного из них – достоверное событие: .

Так как – несовместные события, то к ним применима теорема сложения вероятностей, т. е. .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

Доказательство. В случае, когда события и совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой: .

В справедливости этой формулы убеждает следующий рисунок

А В

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляем по формуле

Методом полной индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий: