19. Математическое ожидание и его свойства

Им характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда просто называют средним значением случайной величины. Чтобы подойти к этому понятию, рассмотрим следующий пример.

Была организована беспроигрышная денежная лотерея, в которой всего 1000 билетов. Пусть среди них 500 билетов с выигрышем по 20 рублей, 200 билетовпо 50 рублей, 200 билетовпо 100 рублей, 90 – по 2000 руб. и 10 билетов – с выигрышем по 1000 руб. При условии продажи всех билетов организаторы должны выплатить сумму

средний выигрыш – это

Игра безобидна, если стоимость билета равна среднему выигрышу.

Размер выигрыша, который выпадает на данный лотерейный билет, - это случайная величина Х, таблица распределений которой имеет вид:

размер выигрыша	20	50	100	200	1000
соответствующая вероятность

Если значение этой случайной величины умножить на соответствующие вероятности и полученные величины сложить, то имеем

Это средний выигрыш. Аналогично вводится среднее значение любой дискретной случайной величины Х.

Определение. Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины называют сумму всех произведений значений случайной величины на соответствующие им вероятности.

Математическое ожидание случайной величины обозначают . Так, если - случайная величина, то

,

где

Остановимся на свойствах математического ожидания случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной. Действительно, если принимает только одно значение С, то вероятность, с которой это значение принимается, равна 1 и .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

Если распределение случайной величины дается как

то распределение случайной величины имеет вид

тогда ).

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.

Доказательство проведем для суммы двух случайных величин и . Пусть совместное распределение дается таблицей

Тогда

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

.

Здесь мы учли независимость случайных величин и , поэтому можно было заменить на .

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания всегда равно нулю: .

Действительно: (здесь использовалось то, что математическое ожидание от постоянной величины равно этой постоянной).