17. Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная случайная величина с функцией распределения , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от до .

,

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать x0. В пределе получим производную от функции распределения

Обозначим . (*)

Функция - производная функции распределения, характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (плотностью вероятности) непрерывной случайной величины . Иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величины .

Плотность распределения так же, как и функция распределения есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке . Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок есть .

Выразим вероятность попадания величины на отрезок от до через плотность распределения. Очевидно, оно равно

.

Формула (*) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

,

откуда .

18. Основные свойства плотности распределения

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция , что вытекает из того, что - неубывающая функция;

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен 1:

, что следует из формул и .

3.

Действительно, .

Геометрически все основные свойства плотности распределения означают, что

• кривая лежит не ниже оси абсцисс;

• полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна 1.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное между и , равна площади заштрихованной криволинейной трапеции.

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:

1. Найти плотность распределения f(x).

2. Найти вероятность попадания величины на участок от 0,25 до 0,5.

Решение. Плотность распределения выражается формулой:

Пример 2. Случайная величина закону распределения с плотностью:

1. Найти коэффициент а.

2. Построить график функции распределения f(x).

3. Найти функцию распределения и построить ее график.

4. Найти вероятность попадания величины на участок от 0 до .

Решение. Для определения коэффициента воспользуемся свойством плотности распределения:

График плотности представляется в виде

y ===

x

- 0

F(x)

0 при x<-

F(x)= при -

1 при x> - 0 x

P(0<x<)=

Замечание. Так как плотность распределения вероятностей – это производная от функции распределения, то называют еще и дифференциальной функцией распределения. , поэтому имеет название интегральной функции распределения.