33. Наивероятнейшее число наступления события

Число наступлений события , которому отвечает наибольшая вероятность, называют наивероятнейшим числом наступления события .

Пусть - наивероятнейшее число наступлений события , тогда , . Отсюда или , следовательно, . С другой стороны, , тогда , т.е. .

Итак, определяется двойным неравенством . Отметим, что разность , следовательно, всегда существует целое число , удовлетворяющее двойному неравенству выше. При этом если - целое число, то наивероятнейших чисел будет два: и .

Пример 1. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий?

Решение. В данном случае , , . Составляем неравенство или , следовательно, .

Пример 1. Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений «двойки» было равно 32?

Решение. Здесь , . Требуется найти - число независимых испытаний. Воспользуемся неравенством . Откуда и , получаем, что с одной стороны , а с другой - . Таким образом, необходимо провести от 191 до 197 независимых испытаний.

34. Асимптотические формулы вычисления вероятностей

При больших и на практике пользоваться формулой Бернулли затруднительно. В этом случае пользуются локальной теоремой Лапласа, которую приведем без доказательства.

Теорема. Если вероятность наступления события в каждом из испытаний отлична от 0 или 1, то - вероятность того, что событие при этом наступит раз, при удовлетворяет предельному неравенству

,

где , .

При сделанных предположениях относительно , если достаточно большое, имеет место приближенное равенство

.

Пример. Вероятность изготовления детали высшего сорта на данном станке равна 0.4 . Найти вероятность того, что среди наудачу взятых 26 деталей половина окажется высшего сорта.

Решение. Требуется найти вероятность , используя теорему Лапласа. Имеем

=0.4

=26

=13

;

.

Таким образом, вероятность того, что среди наудачу взятых 26 деталей половина окажется высшего сорта, равна .

Формула эффективнее, когда близко к 0.5 . Если - мало, пользуются асимптотической формулой Пуассона, которая вытекает из следующей теоремы Пуассона.

Теорема. Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых событие наступает с вероятностью . Тогда, если число испытаний неограниченно возрастает, а , причем - величина постоянная, то

.

35. Биномиальный закон распределения

Случайная величина , которая принимает значение с вероятностью , называется распределенной по биномиальному закону.

Если проводятся независимые испытания, в каждом из которых событие может наступить с одной и той же вероятностью , то число наступлений события в испытаниях и есть случайная величина .

Приведем таблицу распределения биномиальной случайной величины

Значения	0	1	2	…
Вероятности				…

Проверим корректность определения случайной величины , т.е. выполнения требования

.

Здесь - вероятность того, что событие не наступит ни разу; - наступит один раз; - два раза и т.д. или, наконец, раз. Но это вероятность достоверного события и поэтому равна единице.

Найдем математическое ожидание и дисперсию биномиальной случайной величины . Пусть - это число наступлений события в ом испытании. Тогда распределение случайной величины задается таблицей

Значения	0	1
Вероятности

Очевидно, что , - независимые случайные величины и их сумма - это случайная величина . Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины :

, , .

Тогда

,

.

Итак,

, , .