Глава 3. Анализ устойчивости линейных непрерывных сау.

23. Понятие об устойчивости сау. Свойства корней характеристического уравнения, необходимые и достаточные для устойчивости сау.

Одной из основных задач ТАУиР является изучение динамических процессов, происходящих в системах управления (регулирования). На любую автоматическую систему всегда действуют внешние возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Правильно спроектированная система должна устойчиво работать при всех внешних возмущениях. Устойчивость включает в себя требование затухания переходных процессов во времени. Очевидно, что система с расходящимся процессом будет неработоспособной.

В простейшем случае понятие устойчивости системы связанно с ее способностью возвращаться (с определенной точностью) в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

В общем случае, рассматривая линейные системы, вводят понятие устойчивости «в малом», «в большом» и «в целом». Система устойчива «в малом», если констатируют лишь факт наличия области устойчивости, но не определяют каким-либо образом ее границы.

Систему называют устойчивой «в большом», когда определены границы области устойчивости, т.е. определены границы области начальных отклонений, при которых система возвращается в исходное состояние, и выяснено, что реальные начальные отклонения принадлежат этой области. Когда система возвращается в исходное состояние при любых больших начальных отклонениях, систему называют устойчивой в целом.

Устойчивость «в целом» для определенного класса нелинейностей называют «абсолютной» устойчивостью.

Очевидно, что система, устойчивая «в целом», будет устойчива «в большом» и «в малом»; система, устойчивая «в большом», будет устойчива «в малом».

Система будет устойчивой, если из возмущенного состояния она перейдет в некоторую заданную область, окружающую невозмущенное состояние равновесия, после того, как прекратила действие внешняя возмущающая сила.

Приведенное понятие устойчивости можно отнести к устойчивости установившегося режима работы системы.

САУ может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействий (следящие системы), когда установившийся режим отсутствует. Тогда можно дать более общее определение устойчивости САУ: САУ устойчива, если ее выходная величина y(t) остается ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Пусть заданное движение системы, называемое невозмущенным движением, определяется законом изменения независимых координат y₁₀(t), y₂₀(t),…,y_n0(t). Это движение однозначно определяется начальными значениями координат при t=t₀. Оно соответствует по аналогии случаю равновесного положения А₀.

Выбор невозмущенного движения является произвольным. Это может быть любое возможное движение системы, как установившееся, так и неустановившееся. Внешние воздействия вызовут отклонение действительного движения системы от заданного. Его называют возмущенным движением, оно описывается независимыми координатами y₁(t), y₂(t), … ,y_n(t). В общем случае , , … , .

Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних сил (возмущений), которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область , где - заданные малые величины, i=1,2, … ,n (отклонения координат от установившихся значений).

Аналитическое определение понятия устойчивости по Ляпунову А.М. формулируется следующим образом.

Невозмущенное движение системы называется устойчивым, если при заданном, сколь угодно малом , существует такое , зависящие от , что при начальных условиях

в дальнейшем движении будет все время

В этом определении области  и  выглядят «прямоугольными» (в n‑мерном пространстве).

Если с течением времени

,

то невозмущенное движение системы будет асимптотически устойчивым.

Линейная система является идеализированной (приближенной) математической моделью реальной системы.

Ляпунов сформулировал три теоремы об устойчивости по первому приближению:

1. Невозмущенное движение устойчиво независимо от вида малых нелинейностей, если все корни характеристического уравнения D(s)=0 имеют отрицательные вещественные части;

2. Невозмущенное движение неустойчиво независимо от вида малых нелинейностей, если хотя бы один корень характеристического уравнения D(s)=0 имеет положительную вещественную часть;

3. При наличии нулевых и чисто мнимых корней без специального исследования ничего нельзя сказать об устойчивости невозмущенного движения, это означает, что линейная система находится на границе устойчивости.

Покажем, как на основе изложенного выше определения устойчивости А. М. Ляпунова можно найти условия устойчивости линейных САУ.

Пусть задана структурная схема модели САУ в виде:

Рис. 4.4

Запишем дифференциальное уравнение движения этой САУ для управляемой величины y(t) при наличии задающего воздействия g(t) и равенстве нулю возмущения f(t):

. (4.1)

Коэффициенты а₀, а₁….а_n, b₀, b₁, ….b_m – постоянные величины, оператор . Уравнение движения системы может быть записано и для возмущающего воздействия f(t), в этом случае левая часть уравнения остается без изменения, а правая часть будет иметь иной вид.

Характер переходных процессов в системе определяется видом левой части дифференциального уравнения.

Процесс управления (регулирования) определяется решением дифференциального уравнения как сумма двух решений – общего решения без правой части и частного решения неоднородного уравнения:

y(t) = y_общ(t) + y_част(t).

В случае y_част(t)=const это будет установившееся значение. Слагаемое y_общ(t) называют переходной (свободной) составляющей y_пер (t), а y_част(t) – вынужденным решением y_вын(t) .

Тогда y(t) = y_пер (t)+ y_вын(t).

Система будет называться асимптотически устойчивой, если при t→∞ переходная составляющая будет стремиться к нулю: y_пер (t) →0.

Обычно в ТАУ интересуются устойчивостью вынужденной составляющей y_вын(t) переходного процесса. Поэтому за невозмущенное движение системы необходимо принять вынужденную составляющую переходного процесса y_вын(t). Тогда возмущенным движением будет любое возможное в системе изменение регулируемой величины y(t), а отклонением будет переходная (свободная) составляющая y_пер (t)=y(t) - y_вын(t).

Возмущениями по А. М. Ляпунову являются начальные значения y_пер(t₀) , которые возникли в момент t=t₀ под действием внезапно подействовавших дополнительных внешних сил.

Найдем составляющую y_пер (t) из дифференциального уравнения САУ без правой части

. (4.2)

Общее решение ищется в виде y_n(t) = y_общ(t)= или , дифференцируя это выражение n раз и подставляя в (4.2), после сокращения на общий множитель получаем алгебраическое уравнение, называемое характеристическим уравнением

. (4.3)

Его корни S₁ , S₂ ,…, S_n будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно заметить, что левая часть уравнения (4.3) по своему виду совпадает с дифференциальным оператором при выходной величине y(t) в уравнении (4.1). Поэтому характеристическое уравнение получают приравниванием к нулю левой части уравнения (4.1) и заменой оператора на комплексную переменную S. Постоянные интегрирования С_i в общем решении определяются из начальных условий .

Заметим, что корни характеристического уравнения S_i зависят только от вида левой части дифференциального уравнения (4.1) линейной системы. Постоянные интегрирования С_i зависят и от вида правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного дифференциального уравнения САУ (4.1). Однако, поскольку в понятие устойчивости входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса, то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (4.1) и определяется только характеристическим уравнением (4.3).

Чтобы определить устойчива система или нет, нет необходимости решать характеристическое уравнение и определять его корни.

Покажем, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой.

Корни характеристического уравнения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть вещественными, комплексными попарно-сопряженными, мнимыми попарно- сопряженными, нулевыми. В общем случае

.

Рассмотрим эти случаи.

1. Вещественный корень.

Если корень S₁ – отрицательный (S₁=-α₁), то слагаемое y_пер(t)= представляет собой затухающую экспоненту при t→∞. При S₁ = +α₁ получим расходящийся процесс (рис. 4.5,а).

а)	б)
в)	г)

Рис. 4.5. Влияние корней характеристического уравнения