- •В.2. Развитие теории автоматического регулирования
- •1.9.2. Информация в системе управления
- •Автоматизированной системе управления
- •1.10. Модель. Моделирование
- •2.1.1. Принцип разомкнутого управления
- •2.1.2. Принцип компенсации
- •2.1.3. Принцип обратной связи
- •Алгоритм стабилизации
- •Алгоритм программного управления
- •Алгоритм слежения
- •Оптимальный алгоритм функционирования
- •Адаптивный алгоритм функционирования
- •2.4. Статическое и астатическое регулирование
- •2.5. Классификация сау по характеру внутренних динамических процессов
- •2.3. Типовая функциональная схема сау(сар) и ее элементы
- •Чувствительные (измерительные или воспринимающие) элементы и датчики
- •Усилители
- •Исполнительные механизмы
- •Корректирующие и стабилизирующие элементы
- •Регуляторы
- •2.6. Основные требования к системам управления. Типовые воздействия. Основные типы переходных процессов
- •3.1. Методика составления дифференциальных уравнений элементов непрерывных сау с сосредоточенными параметрами, поведение которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями
- •3.1.1. Формы записи линеаризованных уравнений звеньев. Передаточные функции
- •3.2. Динамические звенья и их характеристики
- •Типовые динамические звенья
- •Временные характеристики типовых динамических звеньев
- •3.2.2. Частотная передаточная функция и частотные характеристики динамического звена
- •1. Безынерционное (идеальное усилительное, пропорциональное) звено
- •2. Апериодическое (инерционное) звено первого порядка
- •Колебательное, консервативное и апериодическое второго порядка звенья
- •Колебательное звено ( )
- •(Значения параметров: )
- •Высота пика тем больше, чем меньше коэффициент демпфирования
- •Идеальное интегрирующее звено
- •Интегрирующее звено с замедлением (инерциальное нтегрирующее звено)
- •Идеальное дифференцирующее звено
- •2. Форсирующее звено
- •Дифференцирующее звено с замедлением
- •3.3. Составление передаточных функций и дифференциальных уравнений систем автоматического управления
- •3.3.1. Элементы структурных схем. Основные правила преобразования структурных схем
- •Рассмотрим основные правила преобразования структурных схем.
- •3.3.2. Определение передаточных функций одноконтурной системы. Уравнение замкнутой сау
- •3.4. Частотные характеристики систем автоматического управления
- •3.4.2. Частотные характеристики замкнутой системы. Номограммы для замыкания системы
- •Глава 3. Анализ устойчивости линейных непрерывных сау.
- •23. Понятие об устойчивости сау. Свойства корней характеристического уравнения, необходимые и достаточные для устойчивости сау.
- •На переходный процесс в сау
- •24. Критерий устойчивости Гурвица. Характеристическое уравнение (1, 2, 3, 4 порядков).
- •25. Принцип аргумента. Критерий Михайлова. Правило перемежаемости корней X(ω), y(ω).
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Определение границ устойчивости по критерию Михайлова
- •26. Построение областей устойчивости сау. D-разбиение плоскости 1-го и 2-го порядков.
- •Понятие о d-разбиении
- •27. Критерий устойчивости Найквиста для статических сау.
- •28. Критерий устойчивости Найквиста для астатических сау.
- •29. Определение устойчивости по лачх. Запасы устойчивости по амплитуде ∆а и ∆φ.
- •Глава 4. Анализ качества линейных непрерывных сау.
- •30. Определение переходного процесса в сау с использованием операционного исчисления (преобразование Лапласа).
- •Прямые оценки качества переходного процесса
- •31. Построение кривой переходного процесса по вещественной частотной характеристике.
- •От вчх системы
- •33. Показатели качества h(t) (σ%). Приближённая оценка качества сау по вещественной частотной характеристике p(ω). [вопросы 30 и 31] Показатель колебательности м.
- •35. Интегральные критерии качества.
- •А) монотонной; б) колебательной
- •Глава 5. Синтез корректирующих устройств сау.
- •36. Улучшение качества процессов регулирования. Типы корректирующих устройств.
- •Виды корректирующих устройств
- •37. Синтез последовательного корректирующего устройства.
- •38. Построение Lжел.(ω), соответствующий требованиям к качеству переходного процесса. Синтез корректирующего устройства типа о.С. [вопрос 40]
- •Построение низкочастотной части желаемой лачх
- •Построение среднечастотной части желаемой лачх
- •39. Синтез параллельного корректиркющего устройства (п-, и-, пи-, пид-законов регулирования).
- •40. Синтез двух корректирующих устройств (последовательное и в цепи обратной связи).
- •41. А) Методы повышения точности сау.
- •Компенсации во внутреннюю точку
Определение границ устойчивости по критерию Михайлова
Все три типа границ устойчивости можно объединить равенством , включая и . В случае нулевого корня отсутствует свободный член характеристического полинома , и кривая Михайлова идет из начала координат. Если характеристическое уравнение системы имеет корень , то , откуда получаем
и . (4.27)
Графически это означает попадание одной точки кривой Михайлова ( ) в начало координат. Величина есть частота незатухающих колебаний системы (система – на границе устойчивости).
Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец кривой Михайлова перебрасывается, при этом коэффициент характеристического полинома будет проходить через нулевое значение, меняя знак плюс на минус.
Необходимо помнить, что все остальные корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части.
Рассмотрим применение критерия Михайлова для определения условия устойчивости САУ, приведенной в параграфе 4.2 (рис. 4.7).
Характеристический полином замкнутой САУ
.
Характеристический комплекс .
Вещественная и мнимая части ,
.
Найдем условие устойчивости из требования чередования корней X() и Y() : . Корень находится из уравнения :
.
Отсюда имеем первое условие устойчивости: . Корень находится из уравнения :
.
Подставляя эти значения в требуемое условие , получаем второе условие устойчивости системы
.
Это условие, конечно, совпадает с полученным ранее условием устойчивости по критерию Гурвица.
26. Построение областей устойчивости сау. D-разбиение плоскости 1-го и 2-го порядков.
При исследовании устойчивости большое практическое значение имеет построение областей устойчивости в плоскости одного или каких-либо двух параметров.
Уравнение границ областей устойчивости можно находить, пользуясь любым критерием устойчивости. Чаще всего на практике применяют метод D-разбиения.
Понятие о d-разбиении
Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы -го порядка:
( ). ( 4.27)
Представим себе -мерное пространство коэффициентов уравнения (4.27), которые откладываются по координатным осям. Каждой точке пространства коэффициентов соответствуют конкретные численные значения коэффициентов уравнения (4.27). Это уравнение имеет корней, расположение которых на комплексной плоскости корней зависит от численных значений коэффициентов .
Если изменять коэффициенты уравнения (4.27), то его корни в силу их непрерывной зависимости от коэффициентов будут перемещаться в комплексной плоскости корней, описывая корневые годографы.
При некотором значении коэффициентов корни характеристического уравнения попадают на мнимую ось плоскости , а в пространстве коэффициентов имеем поверхность , а на ней точку с координатами ( , , … , ). При пересечении такой поверхности корни переходят из одной полуплоскости корней в другую. Следовательно, поверхность разделяет пространство коэффициентов на области, каждой точке которых соответствует определенное одинаковое число правых и левых корней. Разбиение пространства коэффициентов на области с одинаковым числом правых корней внутри каждой области и выделение среди полученных областей области устойчивости называют методом D-разбиения.
Поскольку переход через границу D-разбиения в пространстве коэффициентов соответствует переходу корней характеристического уравнения через мнимую ось, то уравнение границы D-разбиения может быть получено из характеристического уравнения системы заменой .
Границу D-разбиения можно строить и в пространстве параметров системы (постоянных времени, коэффициентов передач и т.д.), от которых зависят коэффициенты характеристического уравнения - .
D-разбиение по одному (комплексному) параметру
Пусть требуется выяснить влияние на устойчивость параметра , линейно входящего в характеристическое уравнение
.
Подстановка дает
. (4.28)
Будем временно считать изменяемый параметр комплексной величиной ( с чертой).
Давая значения от до можно по (4.28) вычислить и и построить на комплексной плоскости границу D-разбиения.
Если в плоскости корней двигаться по мнимой оси при изменении от до и штриховать ее слева, то такому движению в плоскости соответствует движение по границе D-разбиения, которую также штрихуют слева по обходу при изменении от до (рис. 4.11).
Рис. 4.11. D-разбиение плоскости
одного параметра
Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка и которая поэтому соответствует области с наибольшим числом левых корней. Чтобы установить, является ли эта область действительно областью устойчивости, задаются значением из этой области, подставляют его в характеристическое уравнение и по любому критерию устойчивости поверяют все ли корни уравнения – левые. Если не все корни будут левыми, то области устойчивости нет, т.е. изменением только параметра нельзя сделать систему устойчивой.
Точки пересечения годографа с вещественной осью определяют границы устойчивости (параметр - вещественный). По рисунку 4.11 можно определить, сколько корней характеристического уравнения системы лежит справа от мнимой оси плоскости корней . Если граница получена пересечением двух кривых (как, например, точка ), то за ней ( ) будет , т.е. пара комплексных корней с положительной вещественной частью. Если же на границе ось пересекается одной кривой (точка ), то за ней ( ) будет один положительный вещественный корень ( ). Следовательно, граница устойчивости - колебательная, а граница апериодическая.
Пример. Пусть дано характеристическое уравнение системы
.
Уравнение разрешим относительно параметра
.
Подставим , тогда
,
где , .
В плоскости и (рис. 4.12) строим область D-разбиения параметра .
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
Рис. 4.12. D-разбиение плоскости параметра
Кривую границы области штрихуем слева при движении от к .
При положительном областью устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка, т.е. .
Проверка устойчивости системы по критерию Гурвица подтверждает это условие.
D-разбиение по двум параметрам.
Для построения области устойчивости на плоскости двух каких-либо параметров К и Т после подстановки в характеристическое уравнение получаем
(4.29)
или
(4.30)
откуда , . (Параметры K и T входят линейно в ).
Условие (4.29) соответствует колебательной границе устойчивости, когда кривая Михайлова проходит через начало координат.
Подставляя в полученные выражения (4.30) значения от до , строим по точкам кривые на плоскости (K,T). Для выделения границ устойчивости вводится штриховка кривых по следующему правилу. Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения частоты , штрихуем ее с левой стороны, если будет положительным определитель (якобиан), составленный из частотных производных
(4.31)
Если определитель будет отрицательным, то штриховка кривой производится справа.
Если при кривая пробегается дважды, то и штриховка на нее наносится дважды. Такие кривые соответствуют колебательной границе устойчивости. Значениям и соответствуют особые кривые (чаще всего прямые), вдоль которых сохраняет постоянное значение (0 или ). Штриховка их (однократная) согласуется с предыдущей. Без доказательства применяют правило: штриховка направлена внутрь области устойчивости, если параметр K отложен по оси абсцисс вправо, а параметр T – по оси ординат вверх.
Пример. Пусть задана структурная схема следящей системы с передаточной функцией
Характеристическое уравнение замкнутой системы
,
или
После подстановки получим уравнения, определяющие колебательную границу устойчивости
,
(4.32)
Построим область устойчивости системы на плоскости параметров К и .
Из уравнений (4.32) находим (при )
, . (4.33)
При изменении строим кривую D - разбиения (гипербола) (рис. 4.13); при снова проходим по этой же кривой. Для нанесения штриховки составим определитель
.
Для отрицательных частот определитель положителен, поэтому кривую штрихуем слева, для положительных частот , поэтому наносим штриховку справа от кривой. Штриховки накладываются друг на друга.
Кроме этой гиперболы получаем две особые прямые:
при и при (из уравнений (4.33)).
Так как и должны быть положительны, область устойчивости системы ограничивается осями и , и гиперболой.
-
К
Ту
0
1/Тм
1
1/Тм +Тм
1/Тм
10
1/Тм+100 Тм
1/100 Тм
0
Рис. 4.13. D-разбиение
плоскости по двум параметрам