31. Построение кривой переходного процесса по вещественной частотной характеристике.

Установлена связь между вещественной частотной характеристикой P() замкнутой САУ и ее переходным процессом h(t).

(5.5)

Существуют приближенные способы построения кривой переходного процесса в замкнутой системе по этой формуле [ 2 ].

Пусть вещественная частотная характеристика (ВЧХ) замкнутой системы имеет вид:

а)	б)	в)

Рис. 5.4. Вещественные частотные характеристики замкнутых САУ

Интервал частот , в котором , называется интервалом положительности.

Интервал частот , называется интервалом существенных частот, если при и далее при величина становится и остается меньше некоторой заданной малой величины (например, 5%*P(0)).Влиянием остальной части ВЧХ при на качество переходного процесса можно пренебречь. Если же при оказывается, что , то при оценке качества переходного процесса в первом приближении можно принимать во внимание только интервал положительности . Заметим, что отбрасываемый «хвост» ВЧХ (при или ) влияет главным образом на начальную часть переходного процесса.

Начало же ВЧХ определяет главным образом концевую часть переходного процесса.

На основании анализа интеграла (5.5) выведены следующие оценки качества переходного процесса.

1. Статическое отклонение h_уст при g(t)=1(t) равно начальному значению ВЧХ P(0)=1.

2. В переходном процессе перерегулирование σ % >18 %, если имеются значения P(ω) > P(0) (рис. 5.4, а). При отсутствии горба (рис. 5.4, б) будет σ % <18 %. Процесс окажется наверняка монотонным, если и монотонно убывает по абсолютному значению (рис. 5.4, в).

3. Длительность переходного процесса оценивается приближенно по величине интервала положительности частот (или величине интервала существенных частот)

.

Переходный процесс тем быстрее затухает, чем больше интервал положительности ВЧХ. Физически это связано с тем, что, чем более высокие частоты «пропускает» система, тем она менее инерционна в своих реакциях на внешние воздействия.

Это же свойство позволяет связать время с частотой среза ЛАЧХ разомкнутой цепи - ω_с (рис. 5.5). Длительность переходного процесса тем меньше, чем больше ω_ср. Зависимость между величинами σ , , ω_с и P_max представлена графиком на рис. 5.5

Рис. 5.5. Зависимости показателей качества переходного процесса

От вчх системы

Графики на рис. 5.5 соответствуют ВЧХ, аппроксимируемой двумя трапециями (рис. 5.6). В этом случае ВЧХ определяют тремя параметрами:

• основным коэффициентом наклона ;

• коэффициентом формы ;

• дополнительным коэффициентом наклона .

Характеристика P(ω) на рис. 5.6 имеет , ,

Рис. 5.6. ВЧХ, аппроксимированная двумя трапециями

Эти зависимости используют не только для оценки показателей качества переходной характеристики при указанной форме ВЧХ, но и для синтеза корректирующих устройств.

32. Оценка точности САУ в типовых режимах. а) g(t)=const; б)g(t) =g0*t ; в) =gm*sin(wpt).[+ ДОПОЛНИТЕЛЬНО ВОПРОС 34] Теорема о предельном значении оригинала.

Одним из основных требований, предъявляемых к САУ является точность воспроизведения задающего воздействия, которая определяется формой установившегося процесса управления (у_вын.(t)). При этом установившаяся ошибка системы будет

, (5.7)

а полное значение ошибки, существенное для начала процесса, равно

.

Установившееся значение ошибки в САУ можно определить воспользовавшись теоремой о предельном значении оригинала из операционного исчисления.

Если функции и - оригиналы и E(S) – изображение функции , то

. (5.8)

Обычно точность САУ определяют для типовых режимов работы. Простейшими из них являются режимы:

• при постоянной величине внешнего воздействия;

• при изменении внешнего воздействия с постоянной скоростью;

• при гармоническом воздействии.

1. Найдем значение установившейся ошибки в замкнутой САУ при постоянной величине внешнего задающего воздействия g(t) = const = g₀.

Пусть передаточная функция разомкнутой цепи – W(S). Тогда передаточная функция замкнутой системы для ошибки будет равна

. (5.9)

Согласно теореме о предельном значении оригинала (5.8), выражение установившейся ошибки принимает вид

. (5.10)

При и , где M(S) и Q(S) не содержат множителя S, с учетом (5.8) получим

. (5.11)

Это значение ошибки называется статической ошибкой.

2. Пусть задающее воздействие изменяется с постоянной скоростью

. (5.12)

По формулам (5.8) и (5.9), с учетом того, что в этом случае , найдем

. (5.13)

Чтобы ликвидировать нарастание ошибки в этом случае, передаточная функция разомкнутой цепи САУ – W(S) должна иметь нулевой полюс. Тогда, как следует из формулы (5.13), получим . Это постоянное значение ошибки называется скоростной ошибкой.

Например. Пусть (один нулевой полюс).

Тогда из (5.13) получим

.

Если в этом примере задающее воздействие постоянное, то установившаяся ошибка в САУ будет равна нулю

.

Итак, система, имеющая нулевой полюс в передаточной функции разомкнутой цепи W(S), не будет иметь статической ошибки и даст постоянное значение скоростной ошибки.

Такая система называется астатической системой. В передаточной функции разомкнутой цепи W(S) необходимо присутствие интегрирующего звена.

Следящие системы и системы программного управления должны проектироваться как астатические. Системы, настраиваемые на поддержание постоянного значения регулируемой величины, могут иметь и статические ошибки.

В следящей системе интегрирующим звеном, создающим астатизм, является исполнительный двигатель. Угол поворота вала (или линейное перемещение) будет пропорционален интегралу от входного управляющего сигнала (напряжения).

Как видно из формул ошибок (5.11) и (5.13), для уменьшения величины ошибки надо увеличивать общий коэффициент усиления К разомкнутой цепи системы. Поэтому величина К именуется добротностью системы.

Можно строить САУ также с астатизмом второго и более высокого порядка и не только по отношению к задающему воздействию, но и по отношению к возмущающему воздействию. Условие астатизма при этом будет другим и будет определяться из условия.

. (5.14)

3. Точность при гармоническом воздействии. Установившаяся ошибка в этом случае определяется частотными характеристиками замкнутой системы, рассмотренными ранее.

Пусть входное воздействие изменяется по закону

. (5.15)

В линеаризованной системе в установившемся режиме ошибка будет меняться также по гармоническому закону

. (5.16)

Точность САУ в этом режиме можно определить по амплитуде ошибки, воспользовавшись определением АЧХ замкнутой САУ по ошибке

. (5.17)

Обычно система управления проектируется таким образом, чтобы была много меньше амплитуды входного сигнала .

Следовательно, должно выполняться условие на рабочей частоте .

Тогда выражение (5.17) можно заменить приближенным

. (5.18)

Эта формула позволяет вычислить амплитуду ошибки в установившемся режиме, а также решить задачу синтеза САУ, обеспечивающую заданную точность в установившемся режиме. Например, при построении желаемой ЛАЧХ на частоте управляющего воздействия (рабочей частоте - ) при заданной амплитуде входного воздействия - и допустимой амплитуде ошибки - определяется, так     называемая, контрольная точка с координатами и . Желаемая ЛАЧХ должна пройти через эту точку (или чуть выше).

Часто при проектировании и испытании систем управления пользуются синусоидальным задающим сигналом и в том случае, когда требования к системе поставлены по максимальной скорости и максимальному ускорению входного воздействия. В этом случае можно определить эквивалентный синусоидальный сигнал.

Если , то скорость и ускорение будут

.

Следовательно,

.

Отсюда вычисляются частота и амплитуда синусоидального задающего воздействия, соответствующие требуемым максимальной скорости и ускорению, а именно:

. (5.19)

Эти значения используются для нанесения координат контрольной точки на поле построения желаемой ЛАЧХ разомкнутого контура системы управления.