Глава 4. Анализ качества линейных непрерывных сау.

30. Определение переходного процесса в сау с использованием операционного исчисления (преобразование Лапласа).

Устойчивость системы обеспечивает затухание переходных процессов с течением времени, т.е. обеспечивает принципиальную возможность прихода системы в некоторое установившееся состояние при любом внешнем воздействии.

Пусть задана система (рис 5.1):

Рис. 5.1

Выходную величину y(t) можно записать

y(t)=yсв.(t)+yвын.(t),

(5.1)

где y_св.(t) – общее решение однородного дифференциального уравнения замкнутой системы. Ели уравнение не имеет кратных корней, то

,

(5.2)

где C_i – постоянная интегрирования, величину которой определяют параметры системы и начальные условия, S_i – корни характеристического уравнения замкнутой системы D(s)=0, y_вын.(t) – вынужденная составляющая переходного процесса, обусловленная законом изменения g(t).

От системы требуется, во-первых, чтобы установившееся состояние было близко к заданному. Его характеризуют точностью системы в установившемся состоянии

. (5.3)

Во-вторых, затухание переходного процесса должно быть достаточно быстрым, а отклонения (колебания), при этом, небольшими.

Чаще всего определяют прямые оценки качества по кривой переходной характеристики h(t), т.е. при воздействии единичной ступенчатой функции:

и нулевых начальных условиях.

На рисунке представлена типовая переходная характеристика САУ.

Рис. 5.2. Прямые оценки качества переходного процесса

Прямые оценки качества переходного процесса

К прямым оценкам качества относят:

1. Время переходного процесса (время регулирования) – t_пер.пр., минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью . Величина  задается обычно в процентах от установившегося значения выходной величины h_уст. Величина  составляет (1-5)% от h_уст. Время регулирования определяет быстродействие системы.

2. Перерегулирование  - максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения выходной величины, выраженное в относительных единицах или процентах

, (5.4)

где h_max1 – значение первого максимума.

Допустимое значение перерегулировании из опыта эксплуатации обычно (10-25)%, в некоторых случаях допускается до 70%; иногда перерегулирование не допускается совсем.

Перерегулирование  характеризует склонность системы к колебаниям, а следовательно, и запас устойчивости.

3. Частоту колебаний =2/Т, где Т – период колебаний для колебательных переходных характеристик.

4. Число колебаний, которое имеет переходная характеристика за время регулирования. При проектировании систем допускают 1-2 колебания, иногда до 3-4-х колебаний, но в некоторых случаях колебания в системе недопустимы.

5. Время достижения первого максимума t_max.

6. Время нарастания переходного процесса t_н – абсцисса первой точки пересечения кривой переходной функции h(t) с уровнем установившегося значения h_уст.

7. Декремент затухания , равный отношению модулей двух смежных перерегулирований

.

Определение перечисленных выше прямых оценок качества переходного процесса проиллюстрировано на рис. 5.2.

Переходные процессы, возникающие в системах при скачкообразных воздействиях, принято делить на три группы: монотонные (=0), апериодические и колебательные. У монотонных процессов первая производная dh(t)/dt не меняет знак (кривая а на рис. 5.3), у апериодических – знак производной dh(t)/dt меняется не более одного раза (кривая б на рис. 5.3) , а у колебательных – первая производная dh(t)/dt меняет свой знак периодически (кривая в на рис. 5.3).

Графически перечисленные требования сводятся к тому, чтобы переходная функция h(t) не выходила из некоторой области допустимых отклонений (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Переходные процессы в САУ