29. Определение устойчивости по лачх. Запасы устойчивости по амплитуде ∆а и ∆φ.

Построение ЛАЧХ разомкнутых систем, особенно асимптотических ЛАЧХ, значительно проще, чем построение годографа АФЧХ. Поэтому в инженерной практике широкое применение получил анализ устойчивости САУ, основанный на построении ЛАЧХ и АФЧХ разомкнутой системы.

Рассмотрим сначала случаи: разомкнутая цепь системы устойчива или нейтральна (астатическая замкнутая система). Как установлено ранее АФЧХ разомкнутой цепи не должна охватывать точку (-1,j0). Это значит, что должно выполняться условие А(ω)<1 или L(ω)=20lgA(ω)<0 при φ(ω)=-180⁰. В свою очередь это означает, что точка пересечения фазовой характеристики с линией -180⁰ должна лежать правее частоты среза – ω_ср, т.е. правее точки пересечения амплитудной характеристики L(ω) с осью абсцисс. При этом запас устойчивости по фазе определяется при А(ω_ср)=1 (20lgA(ω_ср)=0); ∆φ(ω_ср)=180⁰-| φ(ω_ср)|; а запас устойчивости по амплитуде при φ(ω)=-180⁰ (Порядок величин ∆L>6 15 дб; ∆φ >30⁰).

Левее частоты среза ω_ср при сложных очертаниях ЛАЧХ может иметь четное число пересечений фазовой характеристики с линией (-180⁰) в соответствии с приводившимся ранее правилом равенства положительных и отрицательных переходов. положительному переходу (сверху вниз) через отрезок (-∞ ÷ -1) характеристики W(jω) соответствует пересечение ЛФЧХ при L(ω)>0 прямой (-180⁰) снизу вверх, а отрицательному переходу (снизу вверх) через отрезок (-∞ ÷ -1) характеристики W(jω) соответствует пересечение ЛФЧХ при L(ω)>0 прямой (-180⁰) сверху вниз (рис. 4.17).

Если САУ имеет астатизм ν-го порядка, то ЛФЧХ начинается от линии – ν90⁰.

Когда разомкнутая цепь неустойчива, т. е. Q(S) имеет m корней с положительной вещественной частью, в этом случае разность между числом положительных и числом отрицательных переходов фазовой характеристики через линию -180⁰ левее частоты среза ω_ср (где L(ω)=0) должна равняться .

Начало фазовой характеристики в бесконечно удаленной точке при ω 0 на линии (-180⁰) считается за половину перехода.

На рис. 4.24 приведены для примера АФЧХ разомкнутой системы W(jω) и соответствующие ей ЛАЧХ и ЛФЧХ. Из анализа этих ЛАЧХ и ЛФЧХ видно, что разность между числом положительных и числом отрицательных переходов ЛФЧХ прямой -π при L(ω)>0 равна нулю. Таким образом, если разомкнутая система была устойчива (m=0), то и замкнутая система будет устойчива, при этом запасы устойчивости по амплитуде равны ∆А₁ и ∆А₂, а запас устойчивости по фазе равен ∆φ.

Рис. 4.24. АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

Для определенности построения ЛАЧХ и ЛФЧХ возьмем передаточную функцию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в виде ,

где K_v=200; T₁=0,5; T₂=0,1; T₃=0,005.

Выражение для модуля в логарифмических единицах:

L(ω)=20lgKv -20lgω-20lg +20lg -40lg .

(4.39)

Выражение для фазового сдвига имеет вид:

.

На рис. 4.25 представлены ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Построение асимптотической ЛАЧХ начинается с области низких частот (предварительно на стандартной сетке наносятся прямые при сопрягающих частотах: ). Если частота ω меньше первой сопрягающей частоты ω₁, то выражение (4.39) приобретает вид L(ω)=20lgK_v -20lgω, которому соответствует прямая с отрицательным наклоном -20 дб/дек, проходящая через точку с координатами (ω=1 с^-1, L(ω)=20lgK). Эту первую асимптоту проводят до первой сопрягающей частоты ω₁. Если эта частота соответствует постоянной времени, находящейся в знаменателе, то необходимо изменить наклон еще на -20 дб/дек и провести асимптоту до следующей частоты излома ω₂ . постоянная времени Т₂ находится в числителе, поэтому наклон изменяется на +20 дб/дек. На частоте ω₃ наклон изменяется на -40 дб/дек. Последняя высокочастотная асимптота будет иметь отрицательный наклон -60 дб/дек.

На графиках показаны запасы устойчивости по фазе - ∆φ и амплитуде - ∆L дб.