35. Интегральные критерии качества.

Интегральные оценки качества оценивают одним числом время затухания и величины отклонений переходной характеристики от нового установившегося значения.

Пусть отклонение и при (в устойчивой САУ).

Интегральные оценки удобны для сравнения близких по структуре систем (лучшая из них имеет меньшую интегральную оценку ) и для выбора параметров системы.

Наиболее употребительны следующие оценки.

1. Линейная интегральная оценка I₁. Равна площади, ограниченной кривой (t)

. (5.24)

Этот интеграл в устойчивой САУ имеет конечную величину. Оценка применяется только для монотонного переходного процесса (рис. 5.11, а).

а) б)

Рис. 5.11. Интегральные оценки переходной характеристики:

А) монотонной; б) колебательной

Площадь под кривой E(t) будет тем меньше, чем быстрее затухает переходный процесс и чем меньше величина отклонения. Параметры системы выбирают из условия минимума этой интегральной оценки.

Интеграл легко вычислить, используя изображение Лапласа и предельный переход при :

.

В случае колебательного процесса (рис. 5.11, б) при вычислении интеграла (5.24) площади будут складываться алгебраически, и по минимуму величины наилучшим окажется процесс с незатухающими колебаниями, что недопустимо.

2. Квадратичная интегральная оценка I₂ имеет вид

. (5.25)

Может применяться как для монотонных, так и для колебательных переходных процессов. Она не зависит от знаков отклонений. Однако, недостатком интегральной оценки является то, что здесь ничем не ограничивается форма переходного процесса. Оказывается, например, что три совершенно различных по форме процесса, изображенных на рис. 5.12, имеют одно и то же значение квадратичной интегральной оценки.

Рис. 5.12. Формы переходного процесса в САУ по ошибке

Выбранные по минимуму этой оценки параметры системы соответствуют слишком сильному колебательному процессу, ибо стремление оценки к нулю приближает кривую процесса к скачку, а это в свою очередь, вызывает большую скорость процесса при подходе к установившемуся значению (или ). Увеличение начальной скорости может вызвать значительное перерегулирование и, следовательно, малый запас устойчивости.

3. Применяется улучшенная квадратичная интегральная оценка I₃. В ней ограничение накладывается не только на величину отклонения , но так же и на скорость отклонения . Эта оценка имеет вид:

(5.26)

где T – некоторая постоянная времени.

Выясним, какой вид переходного процесса будет получаться при выборе параметров САУ по минимуму улучшенной интегральной оценки . Для этого проделаем следующие преобразования:

где - начальное значение отклонения в переходном процессе.

Во втором слагаемом произведена замена переменной

Наименьшее возможное значение будет при

.

Это есть однородное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого имеет вид:

или для переходной функции:

(5.27)

где = .

Следовательно, выбирая параметры системы по минимуму улучшенной интегральной оценки (5.26), можно приблизить переходный процесс к заданной экспоненте с постоянной времени T, которая носит в этом случае название экстремали. Можно заранее задаться определенной величиной T и получить менее колебательный процесс по сравнению с использованием обычной квадратичной интегральной оценки (5.25).

Применяются и другие виды интегральных оценок качества, в которые, кроме первой производной отклонения, будут входить вторая, третья и.т.д. производные.

Например,

или

где - переменные, характеризующие состояние системы.

В общем случае: .

В качестве интегральных критериев используются и функционалы более общего вида. Интегральные критерии применяются в теории оптимальных систем автоматического управления.