6.11. Вывод дифференциальных уравнений теории постоянного магнитного поля

Векторная функция B =B(r), описывающая постоянное магнитное поле, удовлетворяет интегральным уравнениям (6.9) и (6.11): В = В (r), описывающей постоянное магнитное поле. Эти уравнения имеют вид:

=μ_o I

=0

Получим из этих уравнений дифференциальные уравнения (6.12) и (6.13). При помощи теоремы Остроградского - Гаусса преобразуем в уравне­нии (6.9) поток вектора В через замкнутую поверхность S в интеграл по объему, заключенному внутри этой поверхности, от дивергенции маг­нитной индукции. Будем иметь

= -теорема Остроградского - Гаусса

Поскольку левая часть равна нулю, то и правая также

=0

Интеграл по произвольному объему V всегда равен нулю только в том случае, когда равно нулю подынтегральное выражение. Таким образом, приходим к уравнению (6.12)

div B = 0 .

Преобразуем циркуляцию вектора В в уравнении (6.11) при помощи теоремы Стокса в поверхностный интеграл от ротора магнитной индукции по той же натянутой на контур С поверхности S, по которой инте­грируется плотность тока в правой части этого уравнения:

= - теорема Стокса

= μ_o

Два интеграла по произвольной поверхности S равны друг другу тогда и только тогда, когда равны подынтегральные выражения. Таким обра­зом, получим уравнение (6.13)

rot В = μ_o j .

Задача 1. По объему бесконечно длинного цилиндра радиуса R вдоль его оси идет электрический ток постоянной плотности j. Найти индукцию магнитного поля, создаваемого этим током.

Задача 2. Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно по объему с плотностью заряда д. Цилиндр вращается вокруг своей оси

с угловой скоростью w. Найти вектор магнитной индукции В = В(r).

ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

7.1. Электрические токи в атомах и молекулах

С огласно современным представлениям о строении атомов и молекул они состоят из положительно заряженных ядер и вращающихся вокруг них отрицательно заряженных электронов. Самой простой моделью ато­ма является так называемая планетарная модель, в которой электроны рассматриваются как материальные точки, вращающиеся по круговым орбитам вокруг ядра. Эта модель позволяет в первом приближении объ­яснить магнитные свойства различных веществ (магнетиков).

Рис. 7.1. К вычислению магнитного момента электрона в атоме

Итак, пусть электрон в атоме движется вокруг ядра по окружности (рис. 7.1). В таком случае электрон подобен круговому контуру с током и также характеризуется магнитным моментом р_т. Направление тока, создаваемого вращающимся электроном, противоположно направлению его скорости, так как электрон несет отрицательный заряд -е. По опре­делению вектор р_т перпендикулярен плоскости орбиты электрона, а его направление связано с направлением тока в контуре правилом правого винта. По определению модуль вектора р_т равен произведению силы тока на площадь контура:

p_m =IS

Сила тока, создаваемого вращающимся по орбите электроном, равна от­ношению его заряда к периоду Т обращения электрона вокруг ядра:

I= e/T

Период Т связан со скоростью v и длиной орбиты 2 r соотношением

T=2 r /v

При помощи этих соотношений найдем, что

p_m = evr/2.

Рассмотренный магнитный момент р_т электрона обусловлен его дви­жением вокруг ядра и называется орбитальным магнитным моментом. В некотором смысле электрон подобен вращающемуся заряженному ша­рику. Поэтому электрон^ имеет еще так называемый собственный маг­нитный момент.

В атомах и молекулах имеется несколько электронов. Магнитным моментом р_т молекулы (или атома) называется векторная сумма маг­нитных моментов входящих в ее состав электронов:

р_т. = р_тi. (7.1)

где р_т. - магнитный момент i-го электрона, который равен сумме его орбитального и собственного магнитных моментов.

Магнитное поле, создаваемое токами, которые не входят в состав рас­сматриваемой системы, называется внешним по отношению к этой систе­ме.

Молекула называется диамагнитной, если ее магнитный момент в от­сутствие внешнего поля равен нулю. Под действием внешнего магнит­ного поля диамагнитная молекула приобретает магнитный момент. Это явление называется намагничиванием. Молекула, магнитный момент которой не равен нулю, даже когда внешнего поля нет, называется па­рамагнитной. Такая молекула ведет себя в магнитном поле, как рамка с током. Силы Ампера, с которыми магнитное поле действует на па­рамагнитную молекулу, стремятся развернуть молекулу так, чтобы ее магнитный момент был направлен по полю, т.е. в ту же сторону, что и вектор магнитной индукции. Этому препятствует тепловое движение молекул.

В атомах и молекулах электроны, движущиеся по одной орбите, обра­зуют пары. Собственные магнитные моменты электронов в этих парах всегда направлены в противоположные стороны так, что их сумма равна нулю. Если число электронов в атоме или молекуле четное, то ее пол­ный магнитный момент может оказаться равным нулю. Любой атом и молекула с нечетным числом электронов всегда парамагнитны.