9.7. Мощность переменного тока

Согласно закону Джоуля - Ленца мгновенное значение мощности Р, которая выделяется на некотором участке цепи, равно произведению си­лы тока I на напряжение U на этом участке:

(9.107)

P(t) = I(t) U(t).

Для переменного тока зависимости силы тока и напряжения от времени определяются формулами (9.78) и (9.81). При этом мощность

P(t) = U_mcos(wt + φ_U)I_m cos(wt + φ_I ) (9.94)

Преобразуем это выражение при помощи тригонометрического тожде­ства

cosa cosβ = (1/2)(cos(a-β) + cos(a +β))

Получим

P(t) = (1/2)(I_mU_m cos(φ_U - φ_I ) + I_mU_m cos(2wt + φ_I + φ_U)) ,

где

(φ_U - φ_I )

- разность фаз напряжения и силы тока. Согласно полученной зависи­мости Р = P(t) мощность переменного тока совершает гармонические колебания с частотой 2w около среднего значения

Р_c = (1/2)(I_mU_m cos(φ_U - φ_I ) (9.108)

Энергия W, потребляемая рассматриваемым участком цепи за проме­жуток времени τ, равна интегралу от мощности:

W= P(t) dt.

Если длительность τ существенно больше периода Т колебаний тока в цепи, то энергия W будет с высокой точностью равна произведению сред­него значения мощности на время τ:

W = P_c τ. (9.109)

223

Эту формулу используют для вычисления энергии, потребляемой каким-либо устройством, питающимся от сети переменного тока. Таким обра­зом, с практической точки зрения интерес представляет именно среднее значение мощности переменного тока. Как видно из формулы (9.108) энергия W, потребляемая каким-либо устройством, будет тем больше, чем большим значением cos(φ_U - φ_I) характеризуется это устройство.

Разность фаз напряжения и силы тока, как следует из равенства (9.106), равна аргументу комплексного сопротивления Z:

(φ_U - φ_I) =  .

При этом из соотношения (9.104) следует, что

cos(φ_U - φ_I) =cos=R/|Z|

Амплитуда напряжений связана с амплитудой силы тока соотношений (9.105). Эти соотношения позволяют пребразовать выражение (9.108) к виду

P_c = (1/2)R I_m²

Эту формулу можно записать так:

P = RI²

Где

I = I_m/√2

- так называемое действующее, или эффективное значение силы тока. Действующим значением напряжения называют величину

U = U_m/√2

Используя действующие значения силы тока и напряжения, формуле (9.108) можно придать вид

1

P_c = U I_m cos(φ_U - φ_I)

«Комплексные амплитуды. Метод комплексных амплитуд»

Задача анализа установившегося режима в электрической цепи синусоидального тока.

Среди режимов работы электрической цепи различают установившиеся и переходные режимы. Установившиеся режимы имеют место в результате сколь угодно длительного воздействия источников энергии в электрической цепи. В электрической цепи с источниками постоянного напряжения и тока токи ветвей и напряжения на них неизменны во времени. В электрической цепи с источниками периодических напряжений и токов (синусоидальных и несинусоидальных) токи в ветвях и напряжения на них являются периодическими функциями времени.

Решение задачи анализа установившегося режима в электрической цепи с источниками синусоидального напряжения и тока во временной области сводится к отысканию частного решения системы дифференциальных уравнений, записанных по законам Кирхгофа для контуров и узлов электрической цепи. Но такой расчет для цепей с числом независимых контуров более двух связан с громоздкими выкладками, вызванными тем, что искомые начальные фазы токов находятся под знаком тригонометрических функций.

Поэтому для определения амплитуд и начальных фаз синусоидальных напряжений и токов в установившемся режиме работы электрической цепи чаще применяют метод, предложенный в конце 19 века американским инженером Чарльзом Штейнметцем и получивший название метода комплексных амплитуд. Все расчеты по этому методу осуществляются на основании алгебраических соотношений с использованием понятий комплексных амплитуд синусоидальных напряжений и токов, комплексных сопротивлений и проводимостей элементов электрической цепи, законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Комплексные амплитуды и комплексы.

При расчете этим методом всякой синусоидальной функции времени A_mSin (t +) ставится в соответствие комплексное число вида , которое называется комплексной амплитудой синусоидальной величины.

Как видно, комплексная амплитуда есть комплексное число, модуль которого равен амплитуде синусоидальной величины, а аргумент - начальной фазе. Как и всякое комплексное число, комплексная амплитуда может быть представлена на комплексной плоскости вектором с длиной A_m и углом поворота относительно вещественной оси . (рис.3.1)

Во многих случаях пользуются понятием комплекса синусоидальной величины

т.е. комплексного числа с модулем в виде действующего значения синусоидальной величины и аргументом в виде начальной фазы.

Существует взаимнооднозначное соответствие между комплексной амплитудой и синусоидальной функцией времени. Например, мгновенному значению напряжения u=25Sin(314t-30^o)B соответствует комплексная амплитуда B и вектор на комплексной плоскости (рис.3.2).

Мгновенному значению тока  =10Sin(314t+45^o)B соответствует комплексная амплитуда B и вектор на комплексной плоскости (рис.3.2). Наоборот, зная комплексную амплитуду тока и частоту  , легко определить его мгновенное значение.

Естественно, что масштабные коэффициенты при построении векторов тока и напряжения на комплексной плоскости могут быть разными.

Комплексное сопротивление и комплексная проводимость.

Отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах двухполюсника к комплексной амплитуде тока, протекающего через эти зажимы, называется комплексным сопротивлением пассивного двухполюсника

Ом.

Модуль комплексного сопротивления, равный отношению амплитуды напряжения к амплитуде тока называется полным сопротивлением двухполюсника, т.е.

z=mod(Z)= U_m/ I_m ,Ом.

Аргументом комплексного сопротивления является фазовый сдвиг между напряжением и током на зажимах двухполюсника, т.е.

 = _u -_ .

Представляя комплексное сопротивление, как комплексное число, в алгебраической форме, получим

(Ом)

Вещественная и мнимая части комплексного сопротивления двухполюсника носят название соответственно активной и реактивной составляющих комплексного сопротивления.

Величина обратная комплексному сопротивлению называется комплексной проводимостью

(Сим)

Модуль комплексной проводимости, равный отношению амплитуды тока к амплитуде напряжения называется полной проводимостью двухполюсника, т.е.

y=mod(Y) = I_m/U_m , Сим.

Аргументом комплексной проводимости является фазовый сдвиг между напряжением и током на зажимах двухполюсника, взятый со знаком (-).

Представляя комплексную проводимость, как комплексное число, в алгебраической форме, получим

Ом.

Вещественная и мнимая части комплексной проводимости двухполюсника носят название соответственно активной и реактивной составляющих комплексной проводимости.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Введение понятий комплексного сопротивления и комплексной проводимости означает, по-существу, введение закона Ома в комплексной форме для установившегося синусоидального режима

 или.

Комплексная амплитуда напряжения на зажимах пассивного двухполюсника равна комплексной амплитуде тока, умноженной на комплексное сопротивление двухполюсника.

Пример 1. Через зажимы двухполюсника с комплексным сопротивлением Z=40e^j30 Ом протекает синусоидальный ток  =3 Sin (314 t + 15^o) A. Определить напряжение u(t) на зажимах двухполюсника.

Решение.

Находя комплексную амплитуду тока и зная комплексное сопротивление двухполюсника, на основании закона Ома в комплексной форме определяем комплексную амплитуду напряжения

Следовательно, мгновенное напряжение равно u=120 Sin (314 t + 45^o), B.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: Сумма комплексных амплитуд токов ветвей, сходящихся в узле равна нулю, т.е.

.

Поскольку каждое слагаемое в представленном выражении есть вектор, то результат есть сумма векторов. Это обстоятельство позволяет контролировать аналитические расчеты наглядными графическими построениями - векторными диаграммами.

Пример 2. В узле электрической цепи сходятся 3 ветви с синусоидальными токам одной частоты (рис.3.3,а).

Мгновенные значения токов  ₂ и  ₃ определяются выражениями ₂= 100 Sin( 100t-45^o) и ₃= 50 Sin( 100t+30^o). Требуется определить ток ₁, пользуясь методом комплексных амплитуд.

Решение.

На основании первого закона Кирхгофа в комплексной форме находим

, где ,

Тогда

Построив вектора токов на комплексной плоскости (рис.3.3,б), убеждаемся, что сумма их действительно равна 0.

Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим ₁= 101 Sin(100t-74^o), А.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме - в установившемся синусоидальном режиме сумма комплексных амплитуд ЭДС источников напряжений в контуре равна сумме комплексных амплитуд падений напряжений на элементах контура. Если контур содержит N источников напряжений и L пассивных элементов, то математически это положение формулируется следующим образом:

.

Пример 3. Известны мгновенные значения напряжений на элемен-тах контура ( рис.3.4,а) u₁= 10 Sin( 100t-45^o) B, u₂= 25 Sin( 100t+30^o)B, u₃= 5 Sin( 100t+60^o)B. Требуется определить мгновенное значение ЭДС источника напряжения.

Решение.

На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и ЭДС находим e = u₁+ u₂+ u₃.

Переходя к комплексам, получим

, где

; ;

Следовательно,

=

Построив вектора напряжений на комплексной плоскости (рис.3.4,б) убеждаемся, что сумма их действительно равна вектору ЭДС. Переходя от комплекса к мгновенному значению, получим e = 32.3 Sin(100t+18^o), В.

Метод комплексных амплитуд.

Метод комплексных амплитуд — метод расчета линейных радиотехнических цепей, содержащих реактивные элементы, в установившемся режиме при гармонических входных сигналах.

Суть метода заключается в следующем:

1) Для всех реактивных элементов определяется их комплексный импеданс.

2) Все токи и напряжения рассматриваются в виде комплексных амплитуд.

После введения этих замен задача анализа цепи сводится к задаче анализа цепи на постоянном токе:

- импедансы трактуются как обычные сопротивления;

- комплексные амплитуды токов и напряжений как обычные токи и напряжения.

Таким образом, мы избавились от реактивности элементов и зависимости от времени сигналов. Эти факторы, затрудняющие математические операции при описании схемы, теперь перенесены в сигнал: все параметры зависят от частоты гармонического сигнала и являются комплекснозначными.

Задача анализа цепи на постоянном токе решается соответствующими методами, например, методом узловых потенциалов или методом контурных токов. После нахождения всех искомых комплексных амплитуд их можно при необходимости перевести обратно в гармонические сигналы.

Данный метод применяется для расчёта разветвлённых цепей переменного тока, содержащих реактивные сопротивления (конденсаторы и индуктивности). Сопротивления

этих элементов записываются через комплексные числа.

Сопротивление конденсатора будет равно: Z_c=j/ωC,

сопротивление индуктивности: Z_L=jωL,

где j – мнимая единица вместо i, так как через i обозначается ток,

ω – циклическая частота, которая равна 2πν,

C и L – соответственно ёмкость и индуктивность.

Источник напряжения с учётом фазы обозначается как Ue^jφ, где U – действующее напряжение, φ – фаза данного источника.

Если дан источник тока с определённой фазой, то из этой фазы вычитается π/2, чтобы получить фазу данного источника по косинусу, а затем через получившуюся фазу по косинусу данный источник записывается аналогично источнику напряжения: Ie^jφ.

Если последовательно резистору включён конденсатор, то их общее сопротивление записывается, как R-jZ_c, если индуктивность, то общее сопротивление равно R+jZ_L.

Затем в цепи условно выбираются направления токов, у источников напряжения и тока условно выбираются + и -, и составляются уравнения для расчёта данной цепи лучше всего по правилам Кирхгофа (первое правило Кирхгофа: сумма токов во всех ветвях, сходящихся в данном узле равна нулю; второе правило Кирхгофа: сумма падений напряжений на всех сопротивлениях равна сумме всех ЭДС в данном контуре) или по методу узловых потенциалов:

1) Закон Ома для участка цепи содержащего ЭДС:

φ1 φ2

φ1 – узел, от которого течёт ток;

φ2 – узел, к которому течёт ток;

V1 – источник, включённый по направлению тока;

V2 – источник, включённый противоположно направлению тока;

R 1 – сопротивление ветви.

2) Закон сохранения заряд:

Далее решая эту систему, получим комплексные значения токов в ветвях. Чтобы получить значения токов, которые будут показывать амперметры, нужно просто взять модули этих комплексных токов.

Пример:

Рассчитаем методом комплексных амплитуд с помощью правил Кирхгофа данную цепь.

Метод комплексных амплитуд в формуле Эйлера.

Если в формуле Эйлера:

под φ понимать фазу гармонических колебаний ,то каждому такому колебанию S(t) можно поставить в соответствие комплексное число.

Из уравнения видно, что решение является мнимой частью комплексного выражения:

где - комплексная амплитуда, которая несет информацию об амплитуде S₀ и начальной фазе φ₀ колебаний.

Надо отметить, что метод комплексных амплитуд является, фактически, аналитическим выражением метода векторных диаграмм. Если в последнем методе колебание с частотой полностью задается вектором S₀ то в методе комплексных амплитуд колебание задается числом на комплексной плоскости. Поскольку с комплексными числами удобно и просто производить математические операции, то мы используем это обстоятельство для получения решения уравнения вынужденных колебаний.