8.9. Взаимная индукция

Рассмотрим два контура с токами I₁ и I₂ (рис. 8.7), расположенные на некотором расстоянии друг от друга. Ток в первом контуре созда­ет магнитное поле, поток которого через второй контур, очевидно, пропорционален силе тока I₂

₂ = L₂₁ I₁ (8-38)

Аналогично, магнитный поток Ф₁ через первый контур поля, создавае­мого током во втором контуре, пропорционален силе тока I₂.

₁ = L₁₂I₂ (8.39)

Коэффициенты пропорциональности L₁₂ и L₂₁ называются взаимной ин­дуктивностью, или коэффициентами взаимной индукции. Они зависят от формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости среды, в которой находятся контуры.

Рис. 8.7. Взаимная индукция

Рассмотрим простой пример. Пусть на одном цилиндрическом каркасе имеется две обмотки, образующие два соленоида одинаковой длины l(рис. 8.8). Число витков одного соленоида равно N₁, а второго - N₂. Найдем коэффициенты L₁₂ и L₂₁ для этой системы.

Рис. 8.8. К вычислению коэффициента взаимной индукции

редположим, что в первом соленоиде течет ток I₁, а во втором - 1₂. В силу (7.17) напряженность магнитного поля тока h внутри соленоида

H₁ = N₁I₁/l

Поток магнитной индукции этого поля через один из витков 2 соленоида

Ф₂ = B₁S = N₁I₁S/l

Так как поле внутри соленоида однородно, потоки через все витки оди­наковы. Поэтому потокосцепление

₂ = N₂ Ф₂ = B₁S = N₁ N₂I₁S/l

L₂₁ = N₁ N₂S/l

Аналогично, напряженность поля, создаваемого током I₂, будет

Н₂ = N₂I₂/l

Поток магнитной индукции этого поля через один из витков первого соленоида

Ф₁ = B₂S = N₂I₂S/l

Ф1 =

₂ = N₁ Ф₁ =  N₁ N₂I₂S/l

Отсюда найдем, что

L₂₁ = L₁₂ (8.41)

Это равенство справедливо для двух любых контуров и составляет со­держание теоремы взаимности.

Вычислим энергию магнитного поля двух соосных соленоидов. Векто­ры напряженности полей, создаваемых токами I₁ и I₂, внутри соленоидов коллинеарны. Если токи I₁ и I₂ текут в одном направлении, то векто­ры H₁ и Н₂ сонаправлены. В этом случае суммарное магнитное поле характеризуется напряженностью:

H = H₁ + Н₂ = (N₁I₁ + N₂I₂)/l (8.40)

Если же токи I₁ и I₂ текут в разных направлениях, то векторы Н₁ и H₂ направлены противоположно друг другу. При этом модуль напряженно­сти магнитного поля

H = |H₁ + Н₂| =| H₁ - Н₂| = (N₁I₁ - N₂ I₂)/l

Энергию однородного магнитного поля найдем по формуле (8.28):

W = (1/2) H²V=(1/2)  ( N₁I₁ ± N₂ I₂)²V/l²

При помощи формул (8.22) и (8.40), запишем это выражение так:

W = (1/2) L₁I₁² + (1/2) L₂ I₂² ± L₁₂I₁ I₂

где первое слагаемое есть энергия тока в первом соленоиде, второе -энергия тока во втором, а третье слагаемое называется взаимной энерги­ей. Формула (8.42) справедлива в общем случае для двух произвольных контуров.

Задача. Найти взаимную индуктивность тороидальной катушки и проходящего по ее оси бесконечного прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение. Внутренний радиус тороида равен а, внешний -b, а его высота - h. Число витков в катушке - N. Магнитная проницае­мость окружающей среды - .