9.5. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. Резонанс напряжения и резонанс тока

Подключим колебательный контур, сопротивление которого равно R, к генератору переменной электродвижущей силы

 = _т cos Ωt,

где _т и Ω - амплитуда и частота напря­жения (ЭДС), вырабатываемого генератором (рис.9.7). В этом случае правило Кирхгофа дает уравнение

Рис. 9.7. Колебательный контур с генератором ЭДС

Q/C + RI = -LdI/dt + _т cos Ωt,

которое преобразуем при помощи фор­мул (9.6) и (9.7) к виду

(9.52)

где функция U = U(t) описывает колебания напряжения на конденса­торе. Общее решение этого уравнения представляет собой сумму двух функций:

U(t) = U_cв(t) + U_в(t), (9.53)

где функция U_cв(t) является общим решением (9.25) уравнения (9.23). Эта функция описывает так называемые свободные колебания. Функция

U_в(t) есть частное решение уравнения (9.52). Она описывает вынужден­ный колебания, обусловленные действием подключенного к контуру гене­ратора. Свободные колебания затухают с течением времени. Вынужден­ные колебания совершаются до тех пор, пока не перестанет действовать генератор. После того как прекратятся свободные затухающие колеба­ния (т.е. обратится в ноль первое слагаемое в формуле (9.53), описываю­щее эти колебания), в контуре будут происходить только вынужденные колебания, которые в таком случае называются установившимися.

Будем искать частное решение уравнения (9.52), которое описывает установившиеся колебания, в виде

U = U_в(t) = U_m cos(Ωt + ),

где U_m - амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденса­торе,  - начальная фаза этих колебаний. Найдем функции

dU/dt = - ΩU_m sin (Ωt+ ), d²U/dt² = - Ω² U_m cos (Ωt+ ),

Подстановка функции (9.54) и ее производных в уравнение (9.52) приво­дит к равенству

U_m ((w₀² -Ω²) cos (Ωt+ )-2 βΩ sin(Ωt+ )) = w₀² _т cos Ωt.

Преобразуем это равенство при помощи тригонометрических формул

cos (Ωt+ ) = cos Ωt cos  - sinΩt sin ,

sin (Ωt+ ) = sin Ωt cos  + cosΩt sin ,

Сгруппировав слагаемые, содержащие cos Ωt и sinΩt, получим равен­ство

U_m ((w₀² -Ω²) cos  -2 βΩ sin)cos Ωt +

+U_m (-(w₀² -Ω²)sin -2 βΩ cos)sin Ωt = w₀² _т cos Ωt.

Это равенство будет выполняться при любых значениях времени t, если равны коэффициенты при cos Ωt и sinΩt в левой и правой частях равен­ства:

U_m ((w₀² -Ω²) cos  -2 βΩ sin) = w₀² _т

(9.55)

U_m (-(w₀² -Ω²)sin -2 βΩ cos) = 0 (9.56)

Возведем уравнения (9.55) и (9.56) в квадрат и сложим полученные таким образом уравнения. Придем к уравнению

U_m² ((w₀² -Ω²)² +4 β² Ω²) = w₀⁴ _т²

из которого найдем, что амплитуда вынужденных колебаний напряже­ния на конденсаторе

U_m = U_m(Ω) = w₀² _т /√((w₀² -Ω²)² +4 β² Ω²)

Из уравнения (9.56) найдем начальную фазу  вынужденных колебаний

tg  = - 2 βΩ /(w₀² -Ω²) (9.58)

Как видно из формулы (9.57), амплитуда вынужденных колебаний на­пряжения на конденсаторе зависит от частоты генератора электродвижу­щей силы. При Ω = 0 генератор вырабатывает постоянное напряжение _т. В этом случае ток в контуре отсутствует и напряжение на конденса­торе равно напряжению на клеммах генератора U_m = _т. При увеличе­нии частоты генератора амплитуда U_m вынужденных колебаний напря­жения на конденсаторе увеличивается, достигая наибольшего значения, когда частота генератора принимает значение Ω_р, называемое резонанс­ной частотой; а затем при дальнейшем увеличении Ω уменьшается до нуля. График зависимости U_m = f_m(Ω), определяемой формулой (9.57), представлен на рис. 9.8. Такого вида кривые называются резонансными, а само явление увеличения амплитуды вынужденных колебаний, когда их частота приближается к резонансному значению, - резонансом

U_m

0 Ω_р Ω

Рис. 9.8. Резонанс напряжения на конденсаторе

Резонансную частоту Ω_р можно най­ти из условия максимума функции U_m = U_m(Ω)

dU_m/dΩ=0

Подставив в это условие производную функции (9.57), получим уравнение

-w₀² +Ω² +2 β² =0 (9.59)

из которого найдем, что

Ω_р = √(w₀² - 2 β²)

Этому значению частоты соответствует наибольшее (резонансное) значе­ние амплитуды напряжения

U_mp = w₀² _т /(2 β √(w₀² - β²))

Анализируя формулу (9.59), приходим к выводу, что функция U_m = U_m(Ω) имеет максимум при условии, что

β <w₀/√2

т.е. когда коэффициент затухания β принимает достаточно низкие зна­чения. Если свободные колебания в контуре затухают очень быстро (β >w₀/√2), то резонанс невозможен. Чем меньше коэффициент за­тухания β , тем ближе значение Ω _р резонансной частоты к собственной частоте w₀ контура и тем больше резонансное значение U_mp амплитуды напряжения, как это видно из формулы (9.60).

Подставив функцию (9.54) в формулу (9.8), найдем зависимость силы тока от времени

I = I_в(t) = -CΩ U_m sin (Ωt+ ) = I_m cos (Ωt+  +/2), (9.61)

которое описывает установившиеся вынужденные колебания силы тока в контуре. Амплитуда этих колебаний, как следует из формул (9.57) и (9.61), будет

I_m = I_m (Ω) = CΩ U_m = C Ωw₀² _т /( √((w₀² - Ω²)² + 4 β ² Ω²), (9.62)

Нетрудно видеть, что это выражение при любых значениях частоты Ω неотрицательно. При Ω = 0 и Ω →∞ амплитуда силы тока обращается в ноль. Найдем наибольшее значение амплитуды I_т силы тока из условия

dI_т/dΩ=0.

Подставив функцию (9.62) в это условие, после ее дифференцирования и элементарных преобразований полученного уравнения найдем, что ам­плитуда I_т силы тока достигает наибольшего значения при

Ω = w₀

т.е. резонансная частота для силы тока равна собственной частоте кон­тура. График функции 1_т = I_m (Ω) представлен на рис. 9.9.

Резонансное значение силы тока

I_mp = I_m (w₀) = C w₀² _т /(2 β) =_т /R, (9.63)

Интересно отметить, что это значение совпадает со значением силы по­стоянного тока, который протекает по проводнику сопротивления R, ко­гда к нему приложено постоянное напряжение _т .

Найдем значения частоты Ω, которым соответствует значение ампли­туды силы тока в \/2 раз меньшее резонансного значения:

I_m (Ω) = I_mp/√2 (9.64)

При помощи формул (9.62) и (9.63) это уравнение можно записать так:

2√2 β Ω= √((w₀² - Ω²)² + 4 β ² Ω²)

После возведения этого уравнения в квадрат и простых преобразований придем к уравнению

(Ω +w₀)| Ω - w₀| = 2 β Ω .

Из этого уравнения найдем, что ши­рина ΔΩ (рис. 9.9) резонансной кри­вой на уровне I_mp/√2

ΔΩ =2| Ω - w₀| = 4 β Ω/(Ω +w₀)

Так как для частот

ΔΩ = (w₀- ΔΩ /2 , w₀+Ω/2)

справедливо приближенное равенство

ΔΩ ≈ w₀

будем иметь

ΔΩ ≈ 2β. (9,65)

0 w₀ Ω

Рис. 9.9. Резонанс силы тока в колебательном контуре

При помощи соотношения (9.31), которое справедливо при β<<w₀ , этой формуле можно придать вид

ΔΩ/w₀ =1/Q

Таким образом, приходим к заключению, что относительная ширина ΔΩ/w₀ резонансной кривой обратно пропорциональна добротности конТура Q. Отсюда следует, что чем выше добротность контура, тем "острее" резонансная кривая.