8.4. Индуктивность соленоида

Вычислим индуктивность соленоида из N витков, длина которого рав­на l. При условии, что радиус соленоида много меньше его длины, иска­жениями поля на его концах можно пренебречь и считать магнитное по­ле внутри соленоида однородным, как если бы он был бесконечно длин­ным. От искажений можно избавиться полностью, если соленоид согнуть в "баранку". Такая конструкция называется тороидальной катушкой. Магнитная индукция поля в соленоиде определяется формулой (7.18), в которой число п витков проволоки на единицу длины соленоида равно N/l:

- индукция внутри соленоида. (8.18)

где  - абсолютная магнитная проницаемость вещества, заполняющего пространство внутри соленоида.

Магнитный поток (8.1) удобно вычислять через плоскость S, натяну­тую на один из витков. В этом случае векторы В и п коллинеарны. Так как магнитное поле в соленоиде однородно, магнитный поток

Ф = = = = BS

где S - площадь поперечного сечения соленоида, т.е. площадь одного из его витков. В силу однородности поля потоки через все витки одинаковы. Поэтому

 = NФ. (8.20)

Формулы (8.18) - (8.20) приводят к выражению

 = N²SI/l

Согласно определению (8.16) индуктивность соленоида будет

L =N²S/l = n²Sl = n² V, (8.21)

где V = Sl - объем соленоида, а п = N/I - число витков на единицу длины соленоида.

8.5. Энергия магнитного поля

Рассмотрим цепь, состоящую из проводика сопротивлением R и катуш­ки с постоянной индуктивностью L (рис. 8.4). Пусть в момент времени t = 0 в этой цепи протекает электрический ток силой I₀. Найдем, как ток будет меняться при t > 0. Для этого запишем второе правило Кирхгофа, согласно которому сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС. В рассматриваемом контуре напряжение падает на проводнике, а в катушке возникает электродвижущая сила самоиндукции. Таким образом,

RI = -LdI/dt,

Это есть уравнение с разделяющимися переменными, т.е. его можно за­писать так:

dI/I = - (R/ L) dt

После интегрирования получим

I(t) = I₀ exp(-Rt/L)

(8.23)

Из этой формулы следует, что ток в цепи, содержащей катушку индук­тивности, не может прекратиться мгновенно. Уменьшение силы тока приводит к возникновению электродвижущей силы самоиндукции в ка­тушке, которая согласно правилу Ленца препятствует исчезновению то­ка.

Рис. 8-4- Электрический ток в этом контуре поддерживается благодаря ЭДС самоиндукции

Умножим уравнение (8.22) на I. После простого преобразования правой части будем иметь

RI² = - (8.24)

Левая часть этого равенства есть мощность джоулева энерговыделе­ния, т.е. количество тепла, которое выделяется на сопротивление за единицу времени при прохождении по нему электрического тока. Что является источником энергии, которая расходуется на нагревание про­водника? В рассматриваемом контуре нет других элементов, кроме со­противления и катушки. Поэтому приходим к выводу, что в катушке, а также в любом проводящем контуре с током запасается энергия, кото­рая, как следует из равенства (8.24), определяется соотношением

- энергия магнитного поля. (8.25)

Равенство (8.24) выражает собой закон сохранения энергии. Производная - W есть количество энергии, которое теряется катушкой за единицу времени. Согласно равенству (8.24) эта энергия равна количеству тепла, выделяющемуся в сопротивлении за это время.

Пусть катушка является соленоидом, индуктивность которого опреде­ляется формулой (8.21):

L=n²V. (8.26)

Согласно (8.25) и (8.26) в соленоиде с током I запасена энергия

W=(1/2)n²I²V.

В силу (7.17) произведение nI равно напряженности H магнитного поля внутри соленоида, поэтому

W = (1/2) H²V

Энергия (8.27) зависит от напряженности Я магнитного поля внутри со­леноида, от магнитной проницаемости среды, заполняющей пространство внутри соленоида, и пропорциональна его объему. Отсюда можно заклю­чить, что носителями этой энергии являются магнитное поле и намаг­ниченное вещество. Так как поле внутри длинного соленоида, заполнен­ного однородным веществом, также однородно, энергия W равномерно распределена в пространстве соленоида и пропорциональна его объему V. В этом случае объемная плотность энергии w равна отношению энер­гии W к объему V:

w = (1/2) H² (8.28)

Эта формула справедлива также в общем случае, т.е. и тогда, когда маг­нитное поле неоднородно. При этом энергия поля в малом объеме равна произведению плотности энергии (8.28) на величину dV этого объема:

dW = w(r)dV = (1/2) H²dV

Энергия поля в объеме V выражается интегралом

W = _V w(r)dV = (1/2)_VH²dV

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ (продолжение)