5.6. Эффект Холла

Когда заряженная частица движется в магнитном поле, на нее дей­ствует сила Лоренца

F_м = -q[vB] (5.49)

где q и v - заряд и скорость частицы.

Электрический ток в металле есть направленное движение электро­нов, заряд каждого из которых равен q = -е. Посмотрим, что про­исходит в металлической пластине, вдоль которой течет электрический ток (рис. 5.13), когда ее помещают в магнитное поле. Электрический ток обусловлен действием на электроны электрического поля. На рис. 5.13 вектор напряженности электрического поля направлен вдоль оси y и описывается формулой

Е = {0, -Е, 0} .

Рис. 5.13. К теории эффекта Холла

Электрическая сила

F_э = - е Е

действующая на каждый электрон, заставляет свободные (т.е. способные перемещаться по объему проводника) электроны двигаться вдоль оси у со средней скоростью v. Это движение и есть электрический ток.

Рис. 5.14. К выводу формулы для силы тока в пластинке

Найдем силу i и плотность j тока. Для этого рассмотрим свободные электроны, которые в некоторый момент времени t находились в объ­еме проводника между двумя поперечными сечениями, расположенны­ми на расстоянии vdt одно от другого (рис. 5.14). Выражение vdt есть путь, который проходит электрон за время dt. Поэтому все электроны, находившиеся в выделенном объеме, за время dt покинут его, переместив­шись через поперечное сечение. Чи­сло этих электронов равно произве­дению их концентрации п на объем Svdt. При этом через сечение про­водника будет перенесен заряд

dQ=enSvdt

Разделив этот заряд на время dt получим выражение для силы тока в проводнике

i= enSv

Плотность тока

j = i/S = env

Пусть вектор B индукции внешнего поля направлен перпендикулярно линиям тока. Например, пусть он направлен вдоль оси x :

B ={B, 0, 0}.

В таком случае на электрон, движущийся вдоль оси у со скоростью v , будет действовать магнитная сила F_м, отклоняющая его вверх. По этой причине на верхней грани пластины образуется скопление электронов, распределенных почти равномерно по поверхности, а на нижней грани возникает тонкий слой положительных ионов, обнажившихся в результате ухода от них свободных электронов. Такое распределение зарядов напоминает распределение зарядов на обкладках плоского конденсатора и создает электрическое поле, вектор Е напряженности которого направлен вдоль оси z. Движенеие электронов к верхней грани пластины прекратится, когда сумма сил, действующих на электрон вдоль оси движения, станет равной нулю.

F_м - eЕ =0

Из этого равенства при помощи формулы (5.49) найдем модуль вектора Е напряженности поперечного электрического поля

Е=vB

Существование поперечного электрического поля может быть обнаружено экспериментально. К точкам 1 и 2 на верхней и нижней гранях пластины подключают вольтметр. Эти точки выбирают так, чтобы потенциалы в них были одинаковы, когда магнитное поле отсутствует. После включения магнитного поля вольтметр покажет некоторое значение разности потенциалов(электродвижущая сила Холла). Это значение связано с напряженностью поперечного электрического поля соотношением

 = Еh

где h- расстояние между верхней и нижней гранями пластины. Эту формулу при помощи равенств (5.50) и (5.51) нетрудно преобразовать к виду

 =(hiB)/(enS)

Так как площадь поперечного сечения пластины S = hd, где с( - тол­щина пластины в направлении магнитного поля, это выражение можно записать так:

 =RiB/d (5.52)

где величина

R= 1/(en) (5.53)

называется постоянной Холла. Эта величина является характеристикой исследуемого проводника. Измерив разность потенциалов А<р, силу то­ка г, магнитную индукцию В и толщину пластины d, можно вычислить значение постоянной Холла для этого проводника. По этому значению можно определить концентрацию п носителей тока в проводнике.

Существуют вещества, в которых носители тока имеют положительный заряд. Для таких веществ векторы F_м и Е на рис. 5.13 изменят

направление на противоположное. При этом изменится знак холловской разности потенциалов . Таким образом, измерения этой величины да­ют возможность не только найти значение концентрации носителей тока в проводнике, но определить знак заряда частиц, движение которых со­здает электрический ток в этом веществе.

Если известно значение постоянной Холла R для какого-либо веще­ства, то формулу (5.53) можно использовать для расчета магнитной ин­дукции по измеренным значениям силы тока г и разности потенциалов :

B =  d/(Ri). (5.54)

Для этой цели часто используют полупроводниковый датчик Холла, так как постоянная Холла для полупроводников значительно больше, чем для проводников.

■ ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

“Закон Био-Савара-Лапласа ”

1. Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока.

2. Индукция магнитного поля в центре кругового тока.

3. Индукция магнитного поля на оси кругового тока.

4. Индукция магнитного поля прямолинейного тока.

5. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру. Вихревой характер магнитного поля.

6. Магнитное поле соленоида.