6.7. Pасчет индукции магнитного поля кругового тока

Рассмотрим магнитное поле постоянного тока, текущего по проводу в форме окружности С радиуса а. применим закон Био-Савара- Лапласа(6.1)

И принцип суперпозиции(6.4)

для определения магнитной индукции на оси симметрии этого кругового тока(рис.6.9.)

Рис.6.9. К расчету магнитного поля кругового тока

Для расчета магнитной индукции В выделим на контуре С векторный элемент dl , начало которого находится в некоторой точке А этого контура. Построим вектор R, который соединяет точку А с произвольной точкой Р на оси симметрии контура

R=AP

Для определения положения точки Р проведем координатную ось x вдоль оси симметрии, а начало отсчета поместим в центр контура. При этом расстояние R от точки А до точки Р будет связано с координатой x последней соотношением

R =(a² +x²)

Найдем вектор dB магнитной индукции поля, создаваемого выделенным элементом тока dl в точке P. По определению векторного произведения из закона Био- Саввара- Лапласа следует, что вектор dB перпендикулярен и вектору dl, и вектору R. При этом с учетом того, что векторы dl и R образуют прямой угол, модуль вектора dB будет равен

dB = μ_oIdl/(4 R ²)

Так как рассматриваемая система обладает осевой симметрией, вектор B магнитной индукции поля, создаваемого всем контуром, на оси симметрии будет направлен вдоль оси этой оси: Cледовательно, только проекция на ось x этого вектора будет отлична от нуля во всех точках этой оси:

B_x =B, B_y =B_z =0,

де B- модуль вектора магнитной индукции.

В силу принципа суперпозиции проекция на ось x вектора B будет

где dB_x – проекция на ось x вектора dB. Используя подобие прямоугольных труогольников на рис. 6.9., находим, что

dB_x = adB/R

Подставив выражение (6.23) в формуле (6.22), с учетом (6.21) получим

Все величины под знаком интеграла не зависят от того, где на контуре С расположен векторный элемент dl, и могут быть вынесены за интеграл.

Так как интеграл от dl равен длине 2а окружности, придем к формуле

В_х = μ_oIa²/(2 R ³) (6.24)

Подставив в эту формулу выражение (6.20), получим следующую зави­симость магнитной индукции от координаты х точки Р:

В_х = μ_oIa²/(2(a² +x²) ^3/2)

6.8. Расчет индукции магнитного поля на оси соленоида

Получим формулу для индукции магнитного поля на оси соленоида длины l и радиуса а, на единицу длины которого приходится п витков (рис. 6.6). Пусть в соленоиде идет ток, сила которого равна I.

l

Рис.6.10.К расчету индукции магнитного поля на оси соленоида

Будем рассматривать соленоид как совокупность узких колец с током. Одно из таких колец показано на рис. 6.10. Положение этого кольца определяется координатой , которая изменяется в пределах от 0 до l, а его ширина равна d. Так как рассматриваемое кольцо содержит nd витков, круговой ток, текущий по кольцу, имеет силу

di =Ind. (6.26)

Этот ток создает магнитное поле, индукцию dB которого в на оси соленоида можно найти по формуле(6.24)

dВ = μ_oa²di/(2 R ³) (6.27)

где расстояние от точки Р до кольца с током

R =(a² +(-x)²)

х - координата точки Р.

Индукция В магнитного поля, создаваемого в точке Р всеми витками соленоида, в силу принципа суперпозиции равна интегралу от выраже­ния (6.27):

В = μ_oIn a²/2

Для вычисления этого интеграла удобно ввести новую переменную нтегрирования - угол . Как видно из рис. 6.10, угол таков, что

R = ad/sin  (6.29)

и

- х = a ctg (6.30)

Продифференцировав равенство (6.30) при х = const, получим

d = ad/sin² (6.31)

Подстановка выражений (6.29) и (6.31) под знак интеграла в формуле (6.28) дает

В(x) = μ_oIn /2

где ₁ и ₂ - наибольшее и наименьшее значения угла , зависящие от положения точки Р на оси соленоида. Интегрирование по формуле Ньютона - Лейбница приводит к выражению

(6.32)

Выразим cos ₁ и cos₂ через х для значений х, удовлетворяющих не­равенству

0 < х < l,

т.е. для точек, лежащих на оси х внутри соленоида. Из построений на

рис. 6.11 найдем, что

cos ₁ =

cos ₂ =

Подставив эти выражения в формулу (6.32), будем иметь зависимость

В(x) = μ_oIn /2( + ) 6.33)

Эта формула дает следующие значения магнитной индукции на торцах соленоида и в его середине:

B(0) = В(l) =

В(l/2 =)

где D = 2 a - диаметр соленоида.

Нетрудно убедиться в том, что формула (6.33) справедлива для всех точек на оси соленоида. Согласно этой формуле магнитная индук­ция монотонно убывает до нуля при |х| + . График зависимости В = В(х), определяемый формулой (6.33), изображен на рис. 6.12. Интересно отметить, что при l| +  формула для магнитной В(l/2) ин­дукции в середине соленоида переходит в полученное ранее выражение В=μ_oIn для магнитной индукции внутри бесконечного соленоида.

Рис. 6.11. К вычислению магнитной индукции поля в соленоиде

В(х)

B(0)

l x

Рис. 6.12. Магнитная индукция на оси соленоида