6.1. Закон Био - Савара - Лапласа

Подобно тому, как электрическое поле создается электрическими за­рядами, магнитное поле создается электрическими токами. Пусть по тонкому неподвижному проводу С течет электрический ток силой I. Рас­смотрим малую часть провода, которую будем характеризовать вектором dl . Этот вектор начинается в произвольной точке на проводе, его модуль равен длине dl рассматриваемой части провода, а направление совпадает с направлением тока (рис. 6.1).

Рис. 6.1. К формулировке закона Био - Савара - Лапласа

Участок тока dl создает в пространстве магнитное поле, индукция dB которого в произвольной точке Р(r) пространства определяется форму­ лой:

где

R =AP=r-r_a вектор, соединяющий малый отрезок провода dl с точкой Р,

R=|АР| - расстояние от точки А до точки Р, μ₀ = 4 10^-7 Т м/А - так на­зываемая магнитная постоянная, или магнитная проницаемость вакуума. Формула (6.1) была установлена Лапласом при изучении результа­тов экспериментальных исследований магнитных полей токов в проводах различной формы, которые были проведены Био и Саваром. Согласно формуле (6.1) модуль вектора dB будет

dB = μ_oIdlsina/(4 R²)

(6-3)

где dl - длина вектора dl , а - угол между векторами dl и R .

Магнитная индукция, создаваемая всем проводом с током, равна сум­ме векторов магнитной индукции от каждого малого участка тока. Это утверждение носит название принципа суперпозиции полей. Согласно этому принципу вектор магнитной индукции в точке Р(r) выражается интегралом

B = (6.4)

где интегрирование производится по приращению dl вектора r_А вдоль кривой С.

6.2. Магнитное поле кругового тока

Рассмотрим магнитное поле постоянного тока I, текущего по прово­ду в форме окружности С радиуса а. Применим закон Био - Савара -Лапласа для определения магнитной индукции в центре кругового тока.

На рис.6.2 изображены вектор dl, характеризующий произвольный малый участок проводника с током, и вектор R , соединяющий этот участок с точкой О, которой требуется определить магнитную инндукцию В . По определению век­торного произведения из формулы (6.1) следует, что вектор dB магнитной ин­дукции поля, создаваемого рассматрива­емым участком тока, перпендикулярен и вектору dl, и вектору R . Таким образом, начало вектора dB находится в точке О, а сам вектор перпендикулярен плоскости контура С.

Рис. 6.2.К расчету магнитного поля кругового тока

Так как векторы dl и R образуют прямой угол, модуль вектора dB согласно формуле (6.3) будет

dB = μ_oIdl/(4 a²)

Векторы dB магнитной индукции полей, создаваемых различными участками контура в точке О, совпадают по направлению. В таком слу­чае их векторная сумма будет представлять собой вектор В, который имеет то же направление. При этом модуль этого вектора будет равен

сумме модулей векторов dB :

B =

В = = μ_oI/(4 a²)

Интеграл от dl

=2 a

Таким образом, придем к следующей формуле для магнитной индукции поля, создаваемого круговым током в центре окружности:

B=μ_oI/(2a) (6.5)

Модуль р_т вектора магнитного момента кругового тока равен произведению силы тока на площадь круга:

р_т =I a²

Использоя это соотношение, выражение (6.5) можно записать так:

B=μ_oр_т /(2 a³) (6.6)

В центре кругового витка с током вектор магнитной индукции напра­влен так же, как вектор магнитного момента р_т. При этом справедливо соотношение

B=μ_oр_т /(2 a³) (6.7)

Отметим, что направление вектора магнитной индукции в центре круго­вого тока связано с направлением электрического тока правилом правого винта.

Линии в пространстве, к которым вектор В в любой точке является касательным, называются силовыми линиями магнитного поля. На рис. 6.3 изображены силовые линии магнитного поля кругового тока.

Рис. 6.3. Силовые линии магнитного поля кругового тока