6.3. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля

Так же как из закона Кулона и принципа суперпозиции можно полу­чить уравнения, описывающие постоянное электрическое поле, из закона Био - Савара - Лапласа (6.1) и принципа суперпозиции (6.4) можно по­лучить уравнения для векторной функции

В = В (r),

описывающей постоянное магнитное поле. Эти уравнения имеют вид:

=μ_o I

=0

Левая часть уравнения (6.8) есть циркуляция вектора В магнитной индукции по произвольному замкнутому контуру С, а правая часть про­порциональна алгебраической сумме  I токов, охватываемых этим кон­туром (рис. 6.4). Направление обхода контура С (т.е. направление век­тора dl) может быть выбрано произвольно. При этом ток, охватываемый контуром, считается положительным, т.е. входит в сумму  I со знаком "плюс", если его направление связано с обходом контура правилом пра­вого винта. В противном случае ток считается отрицательным. На рис. 6.4 токи I₁ и I₂ охватываются контуром С, а ток I₃ - нет. При этом сумма токов  I = I₁ и I₂, так как ток I₁ - положителен, а ток I₂ -отрицателен.

■ ■

Рис. 6-4- К формулировке теоремы о циркуляции вектора В

Если ток течет не по проводам, а в сплошной среде, то он описывается векторным полем j = j(r) плотности тока. В этом случае сила тока I, охватываемого контуром С, равна потоку вектора j плотности тока через произвольную поверхность S, натянутую на этот контур (рис. 6.5):

I = (6.10)

где направление нормали п к поверхности S связано с обходом конту­ра правилом правого винта. При этом вместо уравнения (6.8) следует записать

Рис. 6.5. Поверхность S, натянутая па контур С

Уравнение (6.9) утверждает, что поток вектора индукции В посто­янного магнитного поля через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю. Отсюда следует, что силовые линии постоянного магнитного поля всегда замкнуты в отличие от силовых линий постоянного электрического поля, которые начинаются и заканчиваются на зарядах.

Интегральным уравнениям (6.9) и (6.11) соответствуют дифференци­альные уравнения

(6.12)

divB =0

rot В = μ_o j . (6.13)

Векторное поле, удовлетворяющее условиям (6.9) или (6.12), называют вихревым, или соленоидальным. Таковым является постоянное магнит­ное поле.

6.4. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида

Соленоид - это проволочная катушка цилиндрической формы. Его можно представить себе как множество сложенных в стопку круговых витков с током. Силовые линии магнитного поля, создаваемого электри­ческим током в соленоиде, показаны на рис. 6.6. Как видно из этого рисунка, внутри соленоида силовые линии почти прямые. Чем длин­нее соленоид, т.е. чем больше его длина по сравнению с его радиусом, тем меньше кривизна силовых линий внутри соленоида. В таком случае вектор В магнитной индукции поля внутри соленоида будет направлен параллельно его оси. Причем так, что его направление будет связано с направлением тока в соленоиде правилом правого винта. Направим ось х вдоль оси соленоида. При этом проекция вектора магнитной индукции на ось х будет равна его модулю, а все другие его проекции будут равны нулю:

B_x =B, B_y =B_z =0.

Подставим эти проекции вектора В в уравнение (6.12). Получим

B/x = 0

Из этого равенства вытекает, что внутри соленоида вектор магнитной индукции не только сохраняет свое направление, но его модуль здесь всюду одинаков. Таким образом, приходим к выводу, что внутри длин­ного соленоида магнитное поле является однородным.

.

Рис. 6.6. Магнитное поле соленоида

Найдем модуль вектора магнитной индукции поля внутри соленоида при помощи теоремы (6.8) о циркуляции этого вектора. В качестве кон­тура С, по которому будем вычислять циркуляцию вектора магнитной индукции, выберем ломанную линию, изображенную пунктиром на рис. 6.6. Отрезок этой линии длиной l находится внутри соленоида и совпа­дает с одной из силовых линий магнитного поля. Две перпендикулярные этому отрезку прямые начинаются на его концах и уходят в бесконеч­ность. Во всех точках этих прямых вектор магнитной индукции или перпендикулярен им (внутри соленоида), или равен нулю (вне соленои­да). Поэтому скалярное произведение В dl в этих точках равно нулю. Таким образом, циркуляция магнитной индукции по рассматриваемому контуру С будет равна интегралу по отрезку силовой линии длиной l. С учетом того, что модуль вектора магнитной индукции есть постоянная величина будем иметь

= =B =B l

Пусть число витков соленоида, охватываемых контуром С, равно N. При этом сумма токов, охватываемых контуром, будет равна NI, где I - сила тока в одном витке соленоида. Теорема (6.8) приводит к равенству

Вl = μ_o NI,

из которого найдем магнитную индукцию поля в соленоиде:

В = μ_o nI

(6.14)

где n=N/l

n-число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.